Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4173
2017-10-05 
Перевернутая тяжелая коническая воронка поставлена на ровную горизонтальную поверхность, покрытую листовой резиной (рис. 1). Узкое отверстие воронки заканчивается тонкой трубкой, через которую внутрь воронки можно наливать воду. Оказалось, что вода начинает вытекать из-под воронки, когда высота уровня воды в трубке становится равной $h$. Определить массу воронки $M$, если площадь сечения ее широкого отверстия равна $S$, а высота воронки равна $H$.
Решение:
Прежде всего подумаем, почему вода вообще может вытекать из-под воронки. Ведь воронка плотно стоит на резине и никаких щелей там нет. Чтобы вода начала вытекать, воронка должна приподняться. Какая же сила ее приподнимает? Дело в том, что силы давления воды в каждой точке поверхности воронки направлены по нормали к ней и поэтому имеют вертикальную составляющую. Результирующая этих сил, как ясно из симметрии воронки, направлена вертикально вверх. При некотором уровне воды в трубке эта результирующая сила давления может оказаться достаточной для того, чтобы приподнять воронку.
Непосредственное вычисление силы давления требует применения интегрирования. Во-первых, давление воды будет разным для разных горизонтальных слоев, на которые можно разбить поверхность воронки; во-вторых, будут разными площади этих слоев. Поэтому удобнее не вычислять эту силу «в лоб», а воспользоваться другими соображениями, основанными на особенностях гидростатического давления жидкости.
Представим себе, что воронка вместе с налитой в нее водой стоит на весах. Очевидно, что показания весов определяются суммой масс воронки и налитой в нее через трубку воды. В тот момент, когда вода начинает вытекать из-под воронки, нижний край воронки перестает давить па подставку. А это значит, что в этот момент вся сила, действующая на чашку весов,— это сила давления столба воды высотой $h$ на площадь $S$. Итак, в момент отрыва
$mg + \rho gV = \rho gh S$, (1)
где $\rho$ — плотность воды, а $V$ — объем воды в воронке и трубке.
Если трубка тонкая, то объемом заполненной водой части трубки можно пренебречь по сравнению с объемом самой воронки. В этом случае $V = HS/3$, и из уравнения (1) находим
$m= \rho S (h - H/3)$. (2)
Из формулы (2) видно, между прочим, что воронка довольно тяжелая: ее масса более чем вдвое превышает массу воды в объеме воронки. Если бы воронка имела массу, меньшую чем $2 \rho SH/3$, то при наливании воды через трубку воронка оторвалась бы от подставки еще до того, как вода заполнила всю воронку.
рис.2
Использованный здесь прием позволяет обойтись без непосредственного вычисления силы давления жидкости на поверхность тела и может оказаться полезным при решении других гидростатических задач, особенно в тех случаях, когда тело имеет поверхность сложной формы. Уравнение (1) остается справедливым и в том случае, когда воронка имеет более сложную форму, например, такую, как на рис 2. Для нахождения массы воронки нужно только знать объем ее внутренней части.
Перевернутая тяжелая коническая воронка поставлена на ровную горизонтальную поверхность, покрытую листовой резиной (рис. 1). Узкое отверстие воронки заканчивается тонкой трубкой, через которую внутрь воронки можно наливать воду. Оказалось, что вода начинает вытекать из-под воронки, когда высота уровня воды в трубке становится равной $h$. Определить массу воронки $M$, если площадь сечения ее широкого отверстия равна $S$, а высота воронки равна $H$.
Решение:
Прежде всего подумаем, почему вода вообще может вытекать из-под воронки. Ведь воронка плотно стоит на резине и никаких щелей там нет. Чтобы вода начала вытекать, воронка должна приподняться. Какая же сила ее приподнимает? Дело в том, что силы давления воды в каждой точке поверхности воронки направлены по нормали к ней и поэтому имеют вертикальную составляющую. Результирующая этих сил, как ясно из симметрии воронки, направлена вертикально вверх. При некотором уровне воды в трубке эта результирующая сила давления может оказаться достаточной для того, чтобы приподнять воронку.
Непосредственное вычисление силы давления требует применения интегрирования. Во-первых, давление воды будет разным для разных горизонтальных слоев, на которые можно разбить поверхность воронки; во-вторых, будут разными площади этих слоев. Поэтому удобнее не вычислять эту силу «в лоб», а воспользоваться другими соображениями, основанными на особенностях гидростатического давления жидкости.
Представим себе, что воронка вместе с налитой в нее водой стоит на весах. Очевидно, что показания весов определяются суммой масс воронки и налитой в нее через трубку воды. В тот момент, когда вода начинает вытекать из-под воронки, нижний край воронки перестает давить па подставку. А это значит, что в этот момент вся сила, действующая на чашку весов,— это сила давления столба воды высотой $h$ на площадь $S$. Итак, в момент отрыва
$mg + \rho gV = \rho gh S$, (1)
где $\rho$ — плотность воды, а $V$ — объем воды в воронке и трубке.
Если трубка тонкая, то объемом заполненной водой части трубки можно пренебречь по сравнению с объемом самой воронки. В этом случае $V = HS/3$, и из уравнения (1) находим
$m= \rho S (h - H/3)$. (2)
Из формулы (2) видно, между прочим, что воронка довольно тяжелая: ее масса более чем вдвое превышает массу воды в объеме воронки. Если бы воронка имела массу, меньшую чем $2 \rho SH/3$, то при наливании воды через трубку воронка оторвалась бы от подставки еще до того, как вода заполнила всю воронку.
рис.2
Использованный здесь прием позволяет обойтись без непосредственного вычисления силы давления жидкости на поверхность тела и может оказаться полезным при решении других гидростатических задач, особенно в тех случаях, когда тело имеет поверхность сложной формы. Уравнение (1) остается справедливым и в том случае, когда воронка имеет более сложную форму, например, такую, как на рис 2. Для нахождения массы воронки нужно только знать объем ее внутренней части.
