Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4172
2017-10-05 
При причаливании к пристани можно остановить движение даже очень большого судна, не прилагая для этого больших усилий. Брошенный с парохода на пристань канат оборачивают несколько раз вокруг тумбы, и тогда оказывается достаточным приложить к свободному концу каната совсем небольшое усилие, чтобы проскальзывающий по тумбе канат остановил и удержал огромный пароход. Рассчитать, во сколько раз действующая на пароход со стороны каната сила превосходит приложенное к свободному концу каната усилие, если канат трижды обернут вокруг тумбы, а коэффициент трения каната о тумбу равен $\mu$.
Решение:
рис.1
рис.2
Огромный выигрыш в силе достигается здесь благодаря трению витков каната о поверхность тумбы. Рассмотрим небольшой элемент $\Delta l$ витка каната на тумбе, характеризуемый углом $\Delta \alpha$ (рис. 1). На этот элемент со стороны соседних участков каната действуют упругие силы натяжения, равные $T$ и $T + \Delta T$ и направленные по касательным к поверхности тумбы на концах выделенного участка. Интересующее нас различие модулей этих сил $\Delta T$ обусловлено действием на этот элемент силы трения скольжения $\Delta F_{тр}$. Равнодействующая сил натяжения имеет также составляющую, направленную по радиусу к центру тумбы. Эта составляющая уравновешивается нормальной к элементу $\Delta l$ силой реакции тумбы $\Delta \vec{N}$. Как видно из построения на рис. 2, в котором учтено, что для малого элемента витка $\Delta l$ отношение $\Delta T / T \ll 1$, модуль силы $\Delta \vec{N}$ приближенно равен
$\Delta N \approx T \Delta \alpha$. (1)
Модуль силы трения скольжения $\Delta F_{тр}$ связан с модулем нормальной силы реакции $\Delta N$, как обычно, соотношением
$\Delta F_{тр} = \mu \Delta N$. (2)
Подставляя сюда $\Delta N$ из формулы (1) и учитывая, что $\Delta F_{тр} = \Delta T$, получаем
$\Delta T = \mu T \Delta \alpha$. (3)
Будем теперь рассматривать силу натяжения каната $T$ как функцию угла $\alpha$. Тогда, переходя в выражении (3) к пределу при $\Delta \alpha \rightarrow 0$ и учитывая, что предел отношения $\Delta T / \Delta \alpha $ при $\Delta \alpha \rightarrow O$ есть $T^{ \prime}( \alpha)$ — производная от функции $T( \alpha)$ по $\alpha$, получим дифференциальное уравнение
$T^{ \prime}( \alpha ) = \mu T( \alpha)$. (4)
Такое уравнение, в котором производная от искомой функции пропорциональна самой функции, как известно из школьного курса математики, имеет решение
$T( \alpha ) = Ce^{ \mu \alpha}$. (5)
Как видно из самого решения, постоянная $C$ имеет смысл силы натяжения каната $T_{0}$ при $\alpha = 0$, т. е. усилия, приложенного к свободному концу каната. Поэтому
$T( \alpha ) = T_{0} e^{ \mu \alpha}$. (6)
Из этого выражения видно, что отношение силы натяжения $T( \alpha_{1})$ на одном конце каната (т. е. при $\alpha = \alpha_{1}$) к силе натяжения $T_{0}$ па другом конце, равное $e^{ \mu \alpha_{1}}$, не зависит ни от диаметра, ни от толщины каната, а определяется только коэффициентом трения $\mu$ и числом оборотов $n = \alpha_{1} / 2 \pi$.
Экспоненциальная функция
$e^{ \mu \alpha_{1}} = e^{ 2 \pi \mu n}$
растет очень быстро. При целых $n$ это просто геометрическая прогрессия со знаменателем $e^{2 \pi \mu}$. Например, даже при $\mu$, равном всего 0,1, после одного оборота ($n = 1$) сила натяжения каната возрастает в $e^{ 2 \pi \mu } \approx e^{ 0,63} \approx 1,87$ раза, а после трех оборотов — в $e^{2 \pi \mu \cdot 3} \approx 6,55$ раза.
Следует отметить, что описанный способ преобразования силы является существенно необратимым, в отличие от простых механизмов, таких как рычаг, ворот, тали и т. п. Поэтому таким способом можно только останавливать или удерживать корабль, но нельзя, например, подтягивать его к берегу. Однако если привести тумбу во вращение с помощью двигателя, то описанным способом можно подтягивать корабль к берегу. Лебедки, в которых используется этот принцип (кабестаны), широко распространены во флоте.
При причаливании к пристани можно остановить движение даже очень большого судна, не прилагая для этого больших усилий. Брошенный с парохода на пристань канат оборачивают несколько раз вокруг тумбы, и тогда оказывается достаточным приложить к свободному концу каната совсем небольшое усилие, чтобы проскальзывающий по тумбе канат остановил и удержал огромный пароход. Рассчитать, во сколько раз действующая на пароход со стороны каната сила превосходит приложенное к свободному концу каната усилие, если канат трижды обернут вокруг тумбы, а коэффициент трения каната о тумбу равен $\mu$.
Решение:
рис.1
рис.2
Огромный выигрыш в силе достигается здесь благодаря трению витков каната о поверхность тумбы. Рассмотрим небольшой элемент $\Delta l$ витка каната на тумбе, характеризуемый углом $\Delta \alpha$ (рис. 1). На этот элемент со стороны соседних участков каната действуют упругие силы натяжения, равные $T$ и $T + \Delta T$ и направленные по касательным к поверхности тумбы на концах выделенного участка. Интересующее нас различие модулей этих сил $\Delta T$ обусловлено действием на этот элемент силы трения скольжения $\Delta F_{тр}$. Равнодействующая сил натяжения имеет также составляющую, направленную по радиусу к центру тумбы. Эта составляющая уравновешивается нормальной к элементу $\Delta l$ силой реакции тумбы $\Delta \vec{N}$. Как видно из построения на рис. 2, в котором учтено, что для малого элемента витка $\Delta l$ отношение $\Delta T / T \ll 1$, модуль силы $\Delta \vec{N}$ приближенно равен
$\Delta N \approx T \Delta \alpha$. (1)
Модуль силы трения скольжения $\Delta F_{тр}$ связан с модулем нормальной силы реакции $\Delta N$, как обычно, соотношением
$\Delta F_{тр} = \mu \Delta N$. (2)
Подставляя сюда $\Delta N$ из формулы (1) и учитывая, что $\Delta F_{тр} = \Delta T$, получаем
$\Delta T = \mu T \Delta \alpha$. (3)
Будем теперь рассматривать силу натяжения каната $T$ как функцию угла $\alpha$. Тогда, переходя в выражении (3) к пределу при $\Delta \alpha \rightarrow 0$ и учитывая, что предел отношения $\Delta T / \Delta \alpha $ при $\Delta \alpha \rightarrow O$ есть $T^{ \prime}( \alpha)$ — производная от функции $T( \alpha)$ по $\alpha$, получим дифференциальное уравнение
$T^{ \prime}( \alpha ) = \mu T( \alpha)$. (4)
Такое уравнение, в котором производная от искомой функции пропорциональна самой функции, как известно из школьного курса математики, имеет решение
$T( \alpha ) = Ce^{ \mu \alpha}$. (5)
Как видно из самого решения, постоянная $C$ имеет смысл силы натяжения каната $T_{0}$ при $\alpha = 0$, т. е. усилия, приложенного к свободному концу каната. Поэтому
$T( \alpha ) = T_{0} e^{ \mu \alpha}$. (6)
Из этого выражения видно, что отношение силы натяжения $T( \alpha_{1})$ на одном конце каната (т. е. при $\alpha = \alpha_{1}$) к силе натяжения $T_{0}$ па другом конце, равное $e^{ \mu \alpha_{1}}$, не зависит ни от диаметра, ни от толщины каната, а определяется только коэффициентом трения $\mu$ и числом оборотов $n = \alpha_{1} / 2 \pi$.
Экспоненциальная функция
$e^{ \mu \alpha_{1}} = e^{ 2 \pi \mu n}$
растет очень быстро. При целых $n$ это просто геометрическая прогрессия со знаменателем $e^{2 \pi \mu}$. Например, даже при $\mu$, равном всего 0,1, после одного оборота ($n = 1$) сила натяжения каната возрастает в $e^{ 2 \pi \mu } \approx e^{ 0,63} \approx 1,87$ раза, а после трех оборотов — в $e^{2 \pi \mu \cdot 3} \approx 6,55$ раза.
Следует отметить, что описанный способ преобразования силы является существенно необратимым, в отличие от простых механизмов, таких как рычаг, ворот, тали и т. п. Поэтому таким способом можно только останавливать или удерживать корабль, но нельзя, например, подтягивать его к берегу. Однако если привести тумбу во вращение с помощью двигателя, то описанным способом можно подтягивать корабль к берегу. Лебедки, в которых используется этот принцип (кабестаны), широко распространены во флоте.
