Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4171
2017-10-05 
Грузовик загружен одинаковыми гладкими бревнами. Заехав в кювет, он накренился на один борт, так что дно кузова образовало с горизонтом угол $\theta$. Кузов разгрузили, и в нем осталось только три бревна (рис. 1). С какой силой $\vec{F}$ нужно подпереть крайнее бревно 3, чтобы бревна не раскатились? Трением пренебречь.
Решение:
Положение бревен, указанное на рис. 1, возможно только, если угол $\theta < 30^{ \circ}$. В противном случае направление силы тяжести верхнего бревна 2 пройдет левее точки опоры о нижнее бревно 1 и бревно 2 скатится на борт.
При решении этой задачи попытаемся избежать утомительного рассмотрения всех действующих сил и воспользуемся законом сохранения энергии. Если система бревен находится в равновесии, то работа внешней силы $F$ при мысленном бесконечно малом медленном перемещении крайнего бревна 3 определяет изменение потенциальной энергии бревен, так как трение отсутствует, а нормальные силы реакции работы не совершают.
рис.2
«Геометрия» перемещения бревен показана на рис. 2а, который для удобства повернут на угол $\theta$ по часовой стрелке. На такой же угол поворачивается направление силы тяжести.
Треугольники на рис. 2б соединяют центры бревен до и после перемещения. До перемещения треугольник был равносторонним со стороной, равной диаметру бревен $a$. После перемещения бревен треугольник становится равнобедренным, боковые стороны его по-прежнему равны $a$, основание увеличивается на $2 \Delta x$, а высота изменяется на $\Delta y$. В самом деле, бревно 1 лежит на месте, бревно 3 перемещается на $2 \Delta x$ вдоль дна кузова, а бревно 2 перемещается па $\Delta x$ вдоль дна и на $\Delta y$ перпендикулярно дну.
Учитывая, что направление силы тяжести составляет угол $\theta$ с осью $y$ (рис. 2а), изменение потенциальной энергии бревен можно записать в виде
$\Delta E_{п} = mg \cos \theta \cdot \Delta y + mg \sin \theta \cdot \Delta x + mg \sin \theta \cdot 2 \Delta x$.
Первые два слагаемых дают изменение потенциальной энергии бревна 2, а третье слагаемое — бревна 3. При таком перемещении внешняя сила $F$ совершает работу $\Delta A = - F \cdot 2 \Delta x$. На основании закона сохранения энергии имеем
$- F \cdot 2 \Delta x = mg \cos \theta \cdot \Delta y + mg \sin \theta \cdot 3 \Delta x$. (1)
Для нахождения силы $F$ нужно найти связь между перемещениями $\Delta x$ и $\Delta y$. Проще всего это сделать, выразив их через изменение $\Delta \alpha$ угла $\alpha$. В системе координат, показанной на рис. 2а, координаты вершин треугольника до перемещения бревен равны
$x = a \cos \alpha, y = a \sin \alpha$. (2)
После перемещения
$x + \Delta x = a \cos ( \alpha + \Delta \alpha ), y + \Delta y = a \sin ( \alpha + \Delta \alpha)$. (3)
Используя формулы для синуса и косинуса суммы двух углов и учитывая, что при малых $\Delta \alpha$ значения $\cos \Delta \alpha \approx 1, \sin \Delta \alpha \approx \Delta \alpha$, с помощью выражений (2) и (3) находим
$\Delta x = - a \sin \alpha \cdot \Delta \alpha, \Delta y = a \cos \alpha \cdot \Delta \alpha$. (4)
Подставляя (4) в соотношение (1), получаем выражение для силы $F$:
$F = \frac{mg}{2} ( \cos \theta ctg \alpha - 3 \sin \theta)$.
Угол $\alpha$ здесь следует положить равным $60^{ \circ}$, так как нужно определить силу $F$, не позволяющую бревнам раскатываться. Поэтому
$F = \frac{mg}{2} \left ( \frac{1}{ \sqrt{3}} \cos \theta - 3 \sin \theta \right )$. (5)
Проанализируем полученный ответ. Если угол наклона кузова лежит в интервале $0 < \theta < arctg (1/3 \sqrt{3})$, то сила $F > 0$, т. е. бревна действительно нужно удерживать: если силу $F$ убрать, то бревна раскатятся. npи $\theta_{1} = arctg (1/3 \sqrt{3})$ сила $F$ обращается в нуль. При таком угле $\theta_{1}$ бревна не раскатятся, даже если их не подпирать. Если $\theta_{1} < \theta < 30^{ \circ}$, то сила $F$ согласно формуле (5) отрицательна. Это означает, что бревна не раскатятся, даже если бревно 3 вытягивать вдоль дна кузова с силой, меньшей $|F|$. Таким образом, $\theta_{1}$ представляет собой наименьший угол, при котором бревна не раскатываются в отсутствие удерживающей силы $F$.
Грузовик загружен одинаковыми гладкими бревнами. Заехав в кювет, он накренился на один борт, так что дно кузова образовало с горизонтом угол $\theta$. Кузов разгрузили, и в нем осталось только три бревна (рис. 1). С какой силой $\vec{F}$ нужно подпереть крайнее бревно 3, чтобы бревна не раскатились? Трением пренебречь.
Решение:
Положение бревен, указанное на рис. 1, возможно только, если угол $\theta < 30^{ \circ}$. В противном случае направление силы тяжести верхнего бревна 2 пройдет левее точки опоры о нижнее бревно 1 и бревно 2 скатится на борт.
При решении этой задачи попытаемся избежать утомительного рассмотрения всех действующих сил и воспользуемся законом сохранения энергии. Если система бревен находится в равновесии, то работа внешней силы $F$ при мысленном бесконечно малом медленном перемещении крайнего бревна 3 определяет изменение потенциальной энергии бревен, так как трение отсутствует, а нормальные силы реакции работы не совершают.
рис.2
«Геометрия» перемещения бревен показана на рис. 2а, который для удобства повернут на угол $\theta$ по часовой стрелке. На такой же угол поворачивается направление силы тяжести.
Треугольники на рис. 2б соединяют центры бревен до и после перемещения. До перемещения треугольник был равносторонним со стороной, равной диаметру бревен $a$. После перемещения бревен треугольник становится равнобедренным, боковые стороны его по-прежнему равны $a$, основание увеличивается на $2 \Delta x$, а высота изменяется на $\Delta y$. В самом деле, бревно 1 лежит на месте, бревно 3 перемещается на $2 \Delta x$ вдоль дна кузова, а бревно 2 перемещается па $\Delta x$ вдоль дна и на $\Delta y$ перпендикулярно дну.
Учитывая, что направление силы тяжести составляет угол $\theta$ с осью $y$ (рис. 2а), изменение потенциальной энергии бревен можно записать в виде
$\Delta E_{п} = mg \cos \theta \cdot \Delta y + mg \sin \theta \cdot \Delta x + mg \sin \theta \cdot 2 \Delta x$.
Первые два слагаемых дают изменение потенциальной энергии бревна 2, а третье слагаемое — бревна 3. При таком перемещении внешняя сила $F$ совершает работу $\Delta A = - F \cdot 2 \Delta x$. На основании закона сохранения энергии имеем
$- F \cdot 2 \Delta x = mg \cos \theta \cdot \Delta y + mg \sin \theta \cdot 3 \Delta x$. (1)
Для нахождения силы $F$ нужно найти связь между перемещениями $\Delta x$ и $\Delta y$. Проще всего это сделать, выразив их через изменение $\Delta \alpha$ угла $\alpha$. В системе координат, показанной на рис. 2а, координаты вершин треугольника до перемещения бревен равны
$x = a \cos \alpha, y = a \sin \alpha$. (2)
После перемещения
$x + \Delta x = a \cos ( \alpha + \Delta \alpha ), y + \Delta y = a \sin ( \alpha + \Delta \alpha)$. (3)
Используя формулы для синуса и косинуса суммы двух углов и учитывая, что при малых $\Delta \alpha$ значения $\cos \Delta \alpha \approx 1, \sin \Delta \alpha \approx \Delta \alpha$, с помощью выражений (2) и (3) находим
$\Delta x = - a \sin \alpha \cdot \Delta \alpha, \Delta y = a \cos \alpha \cdot \Delta \alpha$. (4)
Подставляя (4) в соотношение (1), получаем выражение для силы $F$:
$F = \frac{mg}{2} ( \cos \theta ctg \alpha - 3 \sin \theta)$.
Угол $\alpha$ здесь следует положить равным $60^{ \circ}$, так как нужно определить силу $F$, не позволяющую бревнам раскатываться. Поэтому
$F = \frac{mg}{2} \left ( \frac{1}{ \sqrt{3}} \cos \theta - 3 \sin \theta \right )$. (5)
Проанализируем полученный ответ. Если угол наклона кузова лежит в интервале $0 < \theta < arctg (1/3 \sqrt{3})$, то сила $F > 0$, т. е. бревна действительно нужно удерживать: если силу $F$ убрать, то бревна раскатятся. npи $\theta_{1} = arctg (1/3 \sqrt{3})$ сила $F$ обращается в нуль. При таком угле $\theta_{1}$ бревна не раскатятся, даже если их не подпирать. Если $\theta_{1} < \theta < 30^{ \circ}$, то сила $F$ согласно формуле (5) отрицательна. Это означает, что бревна не раскатятся, даже если бревно 3 вытягивать вдоль дна кузова с силой, меньшей $|F|$. Таким образом, $\theta_{1}$ представляет собой наименьший угол, при котором бревна не раскатываются в отсутствие удерживающей силы $F$.
