Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4169
2017-10-05 
К нижнему концу легкого стержня длины $l$ прикреплен груз массы $m$, а к верхнему концу — легкая цилиндрическая втулка с внутренним радиусом $R$. Втулка надета с зазором на неподвижную круглую горизонтальную ось (рис. 1). При каких значениях угла отклонения $\phi$ от вертикали этот маятник может находиться в равновесии, если коэффициент трения между внутренней поверхностью втулки и осью равен $\mu$?
Решение:
Совершенно очевидно, что в отсутствие трения между осью и втулкой маятник может находиться в равновесии только в вертикальном положении. А вот при наличии трения в оси равновесие маятника возможно в любом отклоненном от вертикали положении в пределах некоторого небольшого сектора области застоя.
рис.2
Рассмотрим, каким образом действующие на маятник силы могут обеспечить его равновесие в отклоненном от вертикали положении. На маятник действуют всего три силы: на груз, прикрепленный к нижнему концу, действует сила тяжести $m \vec{g}$, а на втулку со стороны оси в точке их соприкосновения действуют нормальная сила реакции осп $\vec{N}$, направленная по радиусу, и сила трения $\vec{F}_{тр}$, направленная по касательной (рис. 2). Довольно очевидно, что точка А, где соприкасаются ось и втулка, смещена из верхнего положения в ту же сторону, куда отклонен маятник, но ее точное положение заранее не известно. Для того чтобы правильно изобразить силы $\vec{N}$ и $\vec{F}_{тр}$ на чертеже, нужно сообразить, где именно находится точка соприкосновения втулки и оси.
рис.3
Это легко сделать, если вспомнить следствие, вытекающее из уравнения моментов: при равновесии тела под действием трех сил линии, по которым действуют эти силы, пересекаются в одной точке. Тогда сразу становится ясно, что точка А лежит на пересечении вертикали, проходящей через центр масс груза, с внутренней поверхностью втулки (рис. 3). А это, в свою очередь, означает, что даже при сколь угодно большом коэффициенте трения в оси невозможно равновесие маятника, если центр масс груза $m$ смещен вправо или влево на расстояние, большее радиуса втулки $R$.
Максимальному отклонению маятника от вертикали соответствует наибольшее возможное значение силы трения покоя. Считая это наибольшее значение равным силе трения скольжения, получим, что в равновесии при максимально допустимом отклонении от вертикали
$F_{тр} = \mu N$. (1)
Так как в равновесии векторная сумма $\vec{F}_{тр}$ и $\vec{N}$ направлена вертикально вверх (рис. 3), то
$tg \alpha = F_{тр} /N = \mu$. (2)
Теперь легко найти угол $\phi$, соответствующий максимальному отклонению маятника. Для этого выразим отрезок ОB (рис. 3) через углы $\alpha$ и $\phi$:
$(l + R) \sin \phi = R \sin \alpha$,
откуда, учитывая соотношение (2), находим
$\sin \phi = \frac{R}{l + R} \frac{ \mu}{ \sqrt{1 + \mu^{2}}}$. (3)
Обратите внимание, что предельный угол определяется только значением коэффициента трения и размерами стержня и втулки и не зависит от массы груза.
Полученный ответ удовлетворяет упоминавшимся выше предельным случаям. При $\mu \rightarrow 0$ предельный угол $\phi$ также стремится к нулю, т. е. в отсутствие трения равновесие возможно только при вертикальном положении маятника. При $\mu \rightarrow \infty$ множитель $\mu / \sqrt{1 + \mu^{2}}$ стремится к единице, и формула (3) принимает вид
$(l + R) \sin \phi = R$. (4)
Отсюда видно, что при $\mu \rightarrow \infty$ максимально возможное отклонение груза вправо ОВ стремится к $R$.
Если отклонить маятник на угол больше предельного и отпустить, то, совершив несколько колебаний с убывающей амплитудой, маятник остановится где-то внутри области застоя. Остановка маятника может произойти в любой точке области застоя в зависимости от начальных условий.
Интересно отметить, что при наличии трения в оси маятник может находиться в равновесии и в перевернутом положении, когда груз т расположен выше оси. В отсутствие трения равновесие перевернутого маятника возможно только при строго вертикальном положении и является неустойчивым. Рассмотрите равновесие перевернутого маятника самостоятельно и убедитесь, что предельно допустимый угол отклонения от вертикали дается тем же выражением (3).
К нижнему концу легкого стержня длины $l$ прикреплен груз массы $m$, а к верхнему концу — легкая цилиндрическая втулка с внутренним радиусом $R$. Втулка надета с зазором на неподвижную круглую горизонтальную ось (рис. 1). При каких значениях угла отклонения $\phi$ от вертикали этот маятник может находиться в равновесии, если коэффициент трения между внутренней поверхностью втулки и осью равен $\mu$?
Решение:
Совершенно очевидно, что в отсутствие трения между осью и втулкой маятник может находиться в равновесии только в вертикальном положении. А вот при наличии трения в оси равновесие маятника возможно в любом отклоненном от вертикали положении в пределах некоторого небольшого сектора области застоя.
рис.2
Рассмотрим, каким образом действующие на маятник силы могут обеспечить его равновесие в отклоненном от вертикали положении. На маятник действуют всего три силы: на груз, прикрепленный к нижнему концу, действует сила тяжести $m \vec{g}$, а на втулку со стороны оси в точке их соприкосновения действуют нормальная сила реакции осп $\vec{N}$, направленная по радиусу, и сила трения $\vec{F}_{тр}$, направленная по касательной (рис. 2). Довольно очевидно, что точка А, где соприкасаются ось и втулка, смещена из верхнего положения в ту же сторону, куда отклонен маятник, но ее точное положение заранее не известно. Для того чтобы правильно изобразить силы $\vec{N}$ и $\vec{F}_{тр}$ на чертеже, нужно сообразить, где именно находится точка соприкосновения втулки и оси.
рис.3
Это легко сделать, если вспомнить следствие, вытекающее из уравнения моментов: при равновесии тела под действием трех сил линии, по которым действуют эти силы, пересекаются в одной точке. Тогда сразу становится ясно, что точка А лежит на пересечении вертикали, проходящей через центр масс груза, с внутренней поверхностью втулки (рис. 3). А это, в свою очередь, означает, что даже при сколь угодно большом коэффициенте трения в оси невозможно равновесие маятника, если центр масс груза $m$ смещен вправо или влево на расстояние, большее радиуса втулки $R$.
Максимальному отклонению маятника от вертикали соответствует наибольшее возможное значение силы трения покоя. Считая это наибольшее значение равным силе трения скольжения, получим, что в равновесии при максимально допустимом отклонении от вертикали
$F_{тр} = \mu N$. (1)
Так как в равновесии векторная сумма $\vec{F}_{тр}$ и $\vec{N}$ направлена вертикально вверх (рис. 3), то
$tg \alpha = F_{тр} /N = \mu$. (2)
Теперь легко найти угол $\phi$, соответствующий максимальному отклонению маятника. Для этого выразим отрезок ОB (рис. 3) через углы $\alpha$ и $\phi$:
$(l + R) \sin \phi = R \sin \alpha$,
откуда, учитывая соотношение (2), находим
$\sin \phi = \frac{R}{l + R} \frac{ \mu}{ \sqrt{1 + \mu^{2}}}$. (3)
Обратите внимание, что предельный угол определяется только значением коэффициента трения и размерами стержня и втулки и не зависит от массы груза.
Полученный ответ удовлетворяет упоминавшимся выше предельным случаям. При $\mu \rightarrow 0$ предельный угол $\phi$ также стремится к нулю, т. е. в отсутствие трения равновесие возможно только при вертикальном положении маятника. При $\mu \rightarrow \infty$ множитель $\mu / \sqrt{1 + \mu^{2}}$ стремится к единице, и формула (3) принимает вид
$(l + R) \sin \phi = R$. (4)
Отсюда видно, что при $\mu \rightarrow \infty$ максимально возможное отклонение груза вправо ОВ стремится к $R$.
Если отклонить маятник на угол больше предельного и отпустить, то, совершив несколько колебаний с убывающей амплитудой, маятник остановится где-то внутри области застоя. Остановка маятника может произойти в любой точке области застоя в зависимости от начальных условий.
Интересно отметить, что при наличии трения в оси маятник может находиться в равновесии и в перевернутом положении, когда груз т расположен выше оси. В отсутствие трения равновесие перевернутого маятника возможно только при строго вертикальном положении и является неустойчивым. Рассмотрите равновесие перевернутого маятника самостоятельно и убедитесь, что предельно допустимый угол отклонения от вертикали дается тем же выражением (3).
