Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4167
2017-10-05 
Посмотрите на рис. 1. Опирающаяся на доску тяжелая балка может поворачиваться в шарнире А вокруг горизонтальной оси. Какую горизонтальную силу нужно приложить к доске, чтобы выдернуть ее влево? вправо? Известны все величины, указанные на рис. 1.
Решение:
рис.2
Рассмотрим прежде всего действующие силы.
На балку действуют сила тяжести $m \vec{g}$, нормальная сила реакции доски $\vec{N}$, сила трения со стороны доски $\vec{F}$, направленная в сторону движения доски, и сила реакции шарнира. Направление последней силы заранее не известно, но оно и не понадобится, так как мы будем рассматривать моменты сил, действующих на балку, относительно оси вращения. Тогда условие равновесия моментов действующих на балку сил имеет вид
$\frac{mg}{2} \sin \beta - N \sin \beta \pm F \cos \beta = 0$. (1)
Знак плюс соответствует движению доски влево (рис. 2а), знак минус — движению вправо (рис. 2б). Силы, действующие на доску, изображены на рис. 2, где $m_{2} \vec{g}$ — сила тяжести, $\vec{F}_{1}$ — сила трения доски о пол, $\vec{T}$ — внешняя сила, с которой мы тянем (эта сила будет наименьшей, если доска движется равномерно). На основании второго закона Ньютона в этом случае имеем
$T - F - F_{1} = 0$, (2)
$N_{1} - m_{1}g - N = 0$. (3)
Вид уравнений (2) и (3) не зависит от того, в какую сторону движется доска.
На основании згакона Кулона — Амонтона
$F = \mu N, F_{1} = \mu_{1} N_{1}$. (4)
С помощью первого из соотношений (4) и уравнения (1) определяем $F$ и $N$. Теперь становится совершенно понятным, почему можно было ограничиться только уравнением моментов сил, действующих на балку: по условию задачи нас интересует только движение доски, а ее взаимодействие с балкой описывается двумя силами $F$ и $N$, которые удается определить из написанных соотношений. Итак,
$N = \frac{ \sin \beta}{ \sin \beta \pm \mu \cos \beta} \frac{mg}{2}$.
Для нахождения силы $T$ нужно подставить в уравнение (2) вместо $F$ и $F_{1}$ их выражения (4). При этом $N_{1}$ выражается из соотношения (3) через силу $N$, которая уже найдена. Проделав все это, получаем
$T = \mu_{1} m_{1} g + \frac{ \mu_{1} + \mu}{ 1 \pm \mu ctg \beta} \frac{mg}{2}$. (5)
Напомним, что верхний знак соответствует движению доски влево, нижний — вправо. Однако второй случай — движение вправо— требует дополнительного исследования, ибо при $|mu ctg \beta = 1$ знаменатель дроби обращается в нуль; при этом $T \rightarrow \infty$. А что, если $\mu ctg \beta > 1$? Нетрудно сообразить, что если $\mu ctg \beta$ стремится к единице со стороны меньших значений, необходимая сила $T$ неограниченно возрастает, и при $\mu ctg \beta = 1$ происходит заклинивание. Совершенно очевидно, что если теперь увеличить $\mu$ или $ctg \beta$, чтобы $\mu ctg \beta$ стало больше единицы, то доска тем более останется на месте. Поэтому правильный ответ при движении доски вправо выглядит так:
$T = \mu_{1} m_{1} g + \frac{ \mu_{1} + \mu}{1 - \mu ctg \beta} \frac{mg}{2}$, если $\mu ctg \beta < 1$.
При $\mu ctg \beta \geq 1$ доску вытащить вправо не удается.
Попробуем объяснить «на пальцах», почему во втором случае происходит заклинивание, т. е. неограниченное возрастание силы трения при стремлении $\mu ctg \beta$ к единице со стороны меньших значений. Сравним значения силы $T$, необходимой для вытягивания доски в первом и втором случаях. Во втором случае, как видно из формулы (5), нужна большая сила. Почему? Момент силы трения $\vec{F}$ относительно оси в этом случае направлен так, что приводит к увеличению силы $\vec{N}$ и, как следствие из этого, к увеличению самой силы трения $\vec{F}$. Сила трения как бы «увеличивает сама себя».
Решив задачу, мы обычно уверены, что эксперимент подтвердит полученные выводы, в крайнем случае будут несколько нарушены количественные соотношения, если в процессе решения пришлось чем-то пренебречь. Если же используемые приближения окажутся слишком грубыми, то результат эксперимента может качественно отличаться От предсказаний. Например, в этой задаче мы пренебрегали возможностью деформации балки и доски и не учитывали зависимость коэффициента трения скольжения от скорости, что может оказаться весьма существенным в условиях, близких к заклиниванию; в частности, балка может сломаться прежде, чем произойдет заклинивание, или начать подскакивать.
Однако даже такие академические задачи представляют интерес, несмотря на свой абстрактный характер. В конечном счете мы не можем рассматривать исчерпывающим образом даже самые простые явления природы — всегда приходится что-то упрощать. Но важно, чтобы выбранная упрощенная модель сохраняла основные черты явления.
рис.3
Разбираемая задача помогает лучше понять действие тормозных колодок автомобиля. На рис. 3 показано устройство тормозов задних (а) и передних (б) колес. При нажатии на педаль тормоза возрастает давление в тормозных цилиндрах С и колодки А и В прижимаются к внутренним поверхностям тормозного барабана, вращающегося имеете с колесом. Легко понять, что поведение колодки В у задних колес аналогично первому случаю разобранной задачи, поведение колодки А — второму случаю. Сила трения, действующая на тормозной барабан со стороны колодки А, больше, чем со стороны колодки В, хотя внешнее прижимающее усилие одинаково для обеих колодок. Колодка А обладает «самотормозящим» действием. Небольшое изменение конструкции тормоза, показанное па рис. б, приводит к тому, что уже обе колодки обладают самотормозящим действием. Именно так устроены тормоза передних колес. А как вы думаете, почему передние колеса нужно тормозить сильнее задних?
Посмотрите на рис. 1. Опирающаяся на доску тяжелая балка может поворачиваться в шарнире А вокруг горизонтальной оси. Какую горизонтальную силу нужно приложить к доске, чтобы выдернуть ее влево? вправо? Известны все величины, указанные на рис. 1.
Решение:
рис.2
Рассмотрим прежде всего действующие силы.
На балку действуют сила тяжести $m \vec{g}$, нормальная сила реакции доски $\vec{N}$, сила трения со стороны доски $\vec{F}$, направленная в сторону движения доски, и сила реакции шарнира. Направление последней силы заранее не известно, но оно и не понадобится, так как мы будем рассматривать моменты сил, действующих на балку, относительно оси вращения. Тогда условие равновесия моментов действующих на балку сил имеет вид
$\frac{mg}{2} \sin \beta - N \sin \beta \pm F \cos \beta = 0$. (1)
Знак плюс соответствует движению доски влево (рис. 2а), знак минус — движению вправо (рис. 2б). Силы, действующие на доску, изображены на рис. 2, где $m_{2} \vec{g}$ — сила тяжести, $\vec{F}_{1}$ — сила трения доски о пол, $\vec{T}$ — внешняя сила, с которой мы тянем (эта сила будет наименьшей, если доска движется равномерно). На основании второго закона Ньютона в этом случае имеем
$T - F - F_{1} = 0$, (2)
$N_{1} - m_{1}g - N = 0$. (3)
Вид уравнений (2) и (3) не зависит от того, в какую сторону движется доска.
На основании згакона Кулона — Амонтона
$F = \mu N, F_{1} = \mu_{1} N_{1}$. (4)
С помощью первого из соотношений (4) и уравнения (1) определяем $F$ и $N$. Теперь становится совершенно понятным, почему можно было ограничиться только уравнением моментов сил, действующих на балку: по условию задачи нас интересует только движение доски, а ее взаимодействие с балкой описывается двумя силами $F$ и $N$, которые удается определить из написанных соотношений. Итак,
$N = \frac{ \sin \beta}{ \sin \beta \pm \mu \cos \beta} \frac{mg}{2}$.
Для нахождения силы $T$ нужно подставить в уравнение (2) вместо $F$ и $F_{1}$ их выражения (4). При этом $N_{1}$ выражается из соотношения (3) через силу $N$, которая уже найдена. Проделав все это, получаем
$T = \mu_{1} m_{1} g + \frac{ \mu_{1} + \mu}{ 1 \pm \mu ctg \beta} \frac{mg}{2}$. (5)
Напомним, что верхний знак соответствует движению доски влево, нижний — вправо. Однако второй случай — движение вправо— требует дополнительного исследования, ибо при $|mu ctg \beta = 1$ знаменатель дроби обращается в нуль; при этом $T \rightarrow \infty$. А что, если $\mu ctg \beta > 1$? Нетрудно сообразить, что если $\mu ctg \beta$ стремится к единице со стороны меньших значений, необходимая сила $T$ неограниченно возрастает, и при $\mu ctg \beta = 1$ происходит заклинивание. Совершенно очевидно, что если теперь увеличить $\mu$ или $ctg \beta$, чтобы $\mu ctg \beta$ стало больше единицы, то доска тем более останется на месте. Поэтому правильный ответ при движении доски вправо выглядит так:
$T = \mu_{1} m_{1} g + \frac{ \mu_{1} + \mu}{1 - \mu ctg \beta} \frac{mg}{2}$, если $\mu ctg \beta < 1$.
При $\mu ctg \beta \geq 1$ доску вытащить вправо не удается.
Попробуем объяснить «на пальцах», почему во втором случае происходит заклинивание, т. е. неограниченное возрастание силы трения при стремлении $\mu ctg \beta$ к единице со стороны меньших значений. Сравним значения силы $T$, необходимой для вытягивания доски в первом и втором случаях. Во втором случае, как видно из формулы (5), нужна большая сила. Почему? Момент силы трения $\vec{F}$ относительно оси в этом случае направлен так, что приводит к увеличению силы $\vec{N}$ и, как следствие из этого, к увеличению самой силы трения $\vec{F}$. Сила трения как бы «увеличивает сама себя».
Решив задачу, мы обычно уверены, что эксперимент подтвердит полученные выводы, в крайнем случае будут несколько нарушены количественные соотношения, если в процессе решения пришлось чем-то пренебречь. Если же используемые приближения окажутся слишком грубыми, то результат эксперимента может качественно отличаться От предсказаний. Например, в этой задаче мы пренебрегали возможностью деформации балки и доски и не учитывали зависимость коэффициента трения скольжения от скорости, что может оказаться весьма существенным в условиях, близких к заклиниванию; в частности, балка может сломаться прежде, чем произойдет заклинивание, или начать подскакивать.
Однако даже такие академические задачи представляют интерес, несмотря на свой абстрактный характер. В конечном счете мы не можем рассматривать исчерпывающим образом даже самые простые явления природы — всегда приходится что-то упрощать. Но важно, чтобы выбранная упрощенная модель сохраняла основные черты явления.
рис.3
Разбираемая задача помогает лучше понять действие тормозных колодок автомобиля. На рис. 3 показано устройство тормозов задних (а) и передних (б) колес. При нажатии на педаль тормоза возрастает давление в тормозных цилиндрах С и колодки А и В прижимаются к внутренним поверхностям тормозного барабана, вращающегося имеете с колесом. Легко понять, что поведение колодки В у задних колес аналогично первому случаю разобранной задачи, поведение колодки А — второму случаю. Сила трения, действующая на тормозной барабан со стороны колодки А, больше, чем со стороны колодки В, хотя внешнее прижимающее усилие одинаково для обеих колодок. Колодка А обладает «самотормозящим» действием. Небольшое изменение конструкции тормоза, показанное па рис. б, приводит к тому, что уже обе колодки обладают самотормозящим действием. Именно так устроены тормоза передних колес. А как вы думаете, почему передние колеса нужно тормозить сильнее задних?
