Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4162
2017-10-05 
На какой угол изменится направление скорости пролетающего мимо Земли метеорита под действием земного притяжения? Скорость метеорита на большом расстоянии от Земли $v_{0}$, прицельное расстояние $l$.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
Качественно характер зависимости угла отклонения метеорита от скорости $v_{0}$ и прицельного расстояния $l$, т. е. расстояния от центра Земли, на котором пролетел бы метеорит, если бы не было земного притяжения (рис. 1), можно установить сразу: при заданной скорости $v_{0}$ этот угол тем меньше, чем больше $l$. Это ясно, так как на пролетающий на большом расстоянии метеорит ослабевающее с расстоянием земное притяжение влияет слабо. При заданном $l$ угол отклонения тем меньше, чем больше скорость $v_{0}$. В самом деле, при большой скорости время пролета мало и сила земного тяготения не успевает вызвать заметного искривления траектории метеорита.
Для получения количественного результата необходимо использовать некоторые свойства гиперболической траектории, по которой движется метеорит, если он приходит к Земле из бесконечности. Гипербола — это геометрическое место точек, разность расстояний до которых от двух заданных точек $O$ и $O^{ \prime}$, называемых фокусами, постоянна: $r_{1} - r_{2} = const$ (рис. 1). Один из фокусов гиперболы $O$ совпадает с центром Земли, второй фокус $O^{ \prime}$ лежит на прямой, проходящей через центр Земли и ближайшую к центру точку А траектории. На бесконечно больших расстояниях от Земли как при приближении, так и при удалении- скорость метеорита направлена по асимптотам гиперболы, т. е. задача состоит в нахождении угла $\theta$ между асимптотами. Точка пересечения асимптот лежит посредине между фокусами.
Приравняем разности расстояний от фокусов $O$ и $O^{ \prime}$ до бесконечно удаленной точки ($O^{ \prime} B$ на рис. 1) и до ближайшей к центру Земли точки {А на рис. 21.1). Из треугольника $OO^{ \prime}B$ находим
$O^{ \prime}B = 2l tg ( \theta /2), OO^{ \prime} = \frac{2l}{ \cos ( \theta / 2)}$
Разность расстояний от фокусов до точки А равна
$AO^{ \prime} - AO = (OO^{ \prime} - AO) - AO$.
Обозначим через $r$ расстояние $AO$ от центра Земли до ближайшей точки траектории. Теперь условие равенства разности расстояний до выбранных точек можно записать в виде
$2l tg ( \theta /2) = \frac{2l}{ \cos ( \theta /2)} - 2r$.
Перенося $2r$ в левую часть, возводя обе части в квадрат и используя тождество $1/ \cos^{2} \alpha = 1 + tg^{2} \alpha$, получаем
$tg ( \theta /2) = \frac{l^{2} - r^{2}}{2lr}$. (1)
При заданном прицельном расстоянии $l$ расстояние $r$ до ближайшей к центру Земли точки траектории зависит от скорости $v_{0}$ на бесконечности. Для того чтобы исключить $r$ из формулы (1), воспользуемся законом сохранения энергии
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = \frac{mv^{2}}{2} - \frac{mgR^{2}}{r}$ (2)
($v$ — скорость метеорита в точке A, $R$ — радиус Земли) и вторым законом Кеплера, который при движении в центральном поле справедлив и для разомкнутых траекторий:
$lv_{0} = rv$. (3)
Правая часть этого равенства очевидна, поскольку в ближайшей к Земле точке траектории А вектор скорости $v$ перпендикулярен радиусу Земли. Левая часть этого равенства становится очевидной, если посмотреть на рис.2.
Из закона сохранения энергии (2) и формулы (3) легко находим
$(l^{2} - r^{2})/r = 2gR/v_{0}^{2}$,
что после подстановки в (1) дает
$tg ( \theta /2) = gR^{2}/ lv_{0}^{2}$. (4)
Эта формула решает поставленную задачу: определяет угол отклонения метеорита в зависимости от прицельного расстояния и скорости на бесконечности. Угол $\theta /2$ монотонно возрастает от 0 до $\pi /2$ при уменьшении произведения $lv_{0}^{2}$ от $\infty$ до 0, что согласуется с приведен ными выше качественными соображениями.
При решении задачи мы предполагали, что траектория метеорита не задевает Землю. Уравнения (2) и (3) позволяют найти условие, которому должны удовлетворять прицельное расстояние $l$ и скорость метеорита на бесконечности $v_{0}$, чтобы это действительно было так. Полагая в этих уравнениях минимальное расстояние $r$ до центра Земли равным радиусу Земли $R$ и исключая из них $v$, находим
$l_{min} = R \sqrt{1 + 2gR / v_{0}^{2}}$.
При меньших значениях прицельного расстояния метеорит упадет на Землю.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. Наибольшее значение угла отклонения $\theta_{max}$ получается из (4) при наименьшем возможном (при заданной скорости $v_{0}$) значении прицельного расстояния $l_{min}$, выражение для которого можно переписать несколько иначе, воспользовавшись тем, что $2gR$ равно квадрату второй космической скорости $v_{II}$:
$l_{min} = R \sqrt{1 + (v_{II}/v_{0})^{2}}$
($l_{min}$ и $\theta_{max}$ соответствуют траектории, почти касающейся земного шара). Таким образом,
$Q_{max} = 2 arctg \frac{(v_{II}/v_{0})^{2}}{2 \sqrt{1 + (v_{II}/v_{0})^{2}}}$. (5)
Если скорость на бесконечности мала по сравнению со второй космической скоростью: $v_{0} \ll v_{II}$, то в знаменателе (5) под корнем можно пренебречь единицей:
$\theta_{max } \approx 2 arctg (v_{II}/2v_{0})$,
т. е. $\theta_{max} \rightarrow \pi$ при $v_{0} / v_{II} \rightarrow 0$: при малой начальной скорости и надлежащем выборе ее направления (т. е. таком, чтобы метеорит все-таки прошел мимо Земли) направление скорости метеорита после облета Земли изменится практически на противоположное.
2. Угол отклонения метеорита будет мал, как видно из (4), при выполнении неравенства $gR^{2}/lv_{0}^{2} \ll 1$. В этом случае в (4) тангенс можно заменить его аргументом:
$\theta \approx 2gR^{2} / lv_{0}^{2}$. (6)
Правая часть этого выражения представляет собой отношение абсолютной величины потенциальной энергии метеорита на расстоянии $l$ от центра Земли $mgR^{2}/l$ и его кинетической энергии на бесконечности $mv_{0}^{2}/2$.
Интересно отметить, что приближенный результат (6) для отклонения на малый угол с точностью до числового множителя порядка единицы можно получить совершенно элементарно. Рассмотрим относящийся к этому случаю рис. Грубо можно считать, что взаимодействие метеорита с Землей существенно только на ближайшем к Земле участке траектории АВ длиной порядка $l$: другие участки почти прямолинейны, так как там сила земного притяжения практически параллельна скорости метеорита. В рассматриваемом движении модуль скорости практически не изменяется и продолжительность действия силы земного тяготения на метеорит можно принять равной $\Delta t \approx l/v_{0}$. Силу приближенно можно положить равной $mgR^{2}/l^{2}$. Таким образом, приращение импульса метеорита $\Delta p$ в направлении, перпендикулярном направлению его движения, составляет по порядку величины
$\Delta p = F \Delta t \approx mgR^{2}/lv_{0}$.
Отсюда для угла отклонения $\theta$ легко получить
$\theta \approx \frac{ \Delta p}{p} = \frac{ \Delta p}{mv_{0}} = \frac{gR^{2}}{lv_{0}^{2}}$.
На какой угол изменится направление скорости пролетающего мимо Земли метеорита под действием земного притяжения? Скорость метеорита на большом расстоянии от Земли $v_{0}$, прицельное расстояние $l$.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
Качественно характер зависимости угла отклонения метеорита от скорости $v_{0}$ и прицельного расстояния $l$, т. е. расстояния от центра Земли, на котором пролетел бы метеорит, если бы не было земного притяжения (рис. 1), можно установить сразу: при заданной скорости $v_{0}$ этот угол тем меньше, чем больше $l$. Это ясно, так как на пролетающий на большом расстоянии метеорит ослабевающее с расстоянием земное притяжение влияет слабо. При заданном $l$ угол отклонения тем меньше, чем больше скорость $v_{0}$. В самом деле, при большой скорости время пролета мало и сила земного тяготения не успевает вызвать заметного искривления траектории метеорита.
Для получения количественного результата необходимо использовать некоторые свойства гиперболической траектории, по которой движется метеорит, если он приходит к Земле из бесконечности. Гипербола — это геометрическое место точек, разность расстояний до которых от двух заданных точек $O$ и $O^{ \prime}$, называемых фокусами, постоянна: $r_{1} - r_{2} = const$ (рис. 1). Один из фокусов гиперболы $O$ совпадает с центром Земли, второй фокус $O^{ \prime}$ лежит на прямой, проходящей через центр Земли и ближайшую к центру точку А траектории. На бесконечно больших расстояниях от Земли как при приближении, так и при удалении- скорость метеорита направлена по асимптотам гиперболы, т. е. задача состоит в нахождении угла $\theta$ между асимптотами. Точка пересечения асимптот лежит посредине между фокусами.
Приравняем разности расстояний от фокусов $O$ и $O^{ \prime}$ до бесконечно удаленной точки ($O^{ \prime} B$ на рис. 1) и до ближайшей к центру Земли точки {А на рис. 21.1). Из треугольника $OO^{ \prime}B$ находим
$O^{ \prime}B = 2l tg ( \theta /2), OO^{ \prime} = \frac{2l}{ \cos ( \theta / 2)}$
Разность расстояний от фокусов до точки А равна
$AO^{ \prime} - AO = (OO^{ \prime} - AO) - AO$.
Обозначим через $r$ расстояние $AO$ от центра Земли до ближайшей точки траектории. Теперь условие равенства разности расстояний до выбранных точек можно записать в виде
$2l tg ( \theta /2) = \frac{2l}{ \cos ( \theta /2)} - 2r$.
Перенося $2r$ в левую часть, возводя обе части в квадрат и используя тождество $1/ \cos^{2} \alpha = 1 + tg^{2} \alpha$, получаем
$tg ( \theta /2) = \frac{l^{2} - r^{2}}{2lr}$. (1)
При заданном прицельном расстоянии $l$ расстояние $r$ до ближайшей к центру Земли точки траектории зависит от скорости $v_{0}$ на бесконечности. Для того чтобы исключить $r$ из формулы (1), воспользуемся законом сохранения энергии
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = \frac{mv^{2}}{2} - \frac{mgR^{2}}{r}$ (2)
($v$ — скорость метеорита в точке A, $R$ — радиус Земли) и вторым законом Кеплера, который при движении в центральном поле справедлив и для разомкнутых траекторий:
$lv_{0} = rv$. (3)
Правая часть этого равенства очевидна, поскольку в ближайшей к Земле точке траектории А вектор скорости $v$ перпендикулярен радиусу Земли. Левая часть этого равенства становится очевидной, если посмотреть на рис.2.
Из закона сохранения энергии (2) и формулы (3) легко находим
$(l^{2} - r^{2})/r = 2gR/v_{0}^{2}$,
что после подстановки в (1) дает
$tg ( \theta /2) = gR^{2}/ lv_{0}^{2}$. (4)
Эта формула решает поставленную задачу: определяет угол отклонения метеорита в зависимости от прицельного расстояния и скорости на бесконечности. Угол $\theta /2$ монотонно возрастает от 0 до $\pi /2$ при уменьшении произведения $lv_{0}^{2}$ от $\infty$ до 0, что согласуется с приведен ными выше качественными соображениями.
При решении задачи мы предполагали, что траектория метеорита не задевает Землю. Уравнения (2) и (3) позволяют найти условие, которому должны удовлетворять прицельное расстояние $l$ и скорость метеорита на бесконечности $v_{0}$, чтобы это действительно было так. Полагая в этих уравнениях минимальное расстояние $r$ до центра Земли равным радиусу Земли $R$ и исключая из них $v$, находим
$l_{min} = R \sqrt{1 + 2gR / v_{0}^{2}}$.
При меньших значениях прицельного расстояния метеорит упадет на Землю.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. Наибольшее значение угла отклонения $\theta_{max}$ получается из (4) при наименьшем возможном (при заданной скорости $v_{0}$) значении прицельного расстояния $l_{min}$, выражение для которого можно переписать несколько иначе, воспользовавшись тем, что $2gR$ равно квадрату второй космической скорости $v_{II}$:
$l_{min} = R \sqrt{1 + (v_{II}/v_{0})^{2}}$
($l_{min}$ и $\theta_{max}$ соответствуют траектории, почти касающейся земного шара). Таким образом,
$Q_{max} = 2 arctg \frac{(v_{II}/v_{0})^{2}}{2 \sqrt{1 + (v_{II}/v_{0})^{2}}}$. (5)
Если скорость на бесконечности мала по сравнению со второй космической скоростью: $v_{0} \ll v_{II}$, то в знаменателе (5) под корнем можно пренебречь единицей:
$\theta_{max } \approx 2 arctg (v_{II}/2v_{0})$,
т. е. $\theta_{max} \rightarrow \pi$ при $v_{0} / v_{II} \rightarrow 0$: при малой начальной скорости и надлежащем выборе ее направления (т. е. таком, чтобы метеорит все-таки прошел мимо Земли) направление скорости метеорита после облета Земли изменится практически на противоположное.
2. Угол отклонения метеорита будет мал, как видно из (4), при выполнении неравенства $gR^{2}/lv_{0}^{2} \ll 1$. В этом случае в (4) тангенс можно заменить его аргументом:
$\theta \approx 2gR^{2} / lv_{0}^{2}$. (6)
Правая часть этого выражения представляет собой отношение абсолютной величины потенциальной энергии метеорита на расстоянии $l$ от центра Земли $mgR^{2}/l$ и его кинетической энергии на бесконечности $mv_{0}^{2}/2$.
Интересно отметить, что приближенный результат (6) для отклонения на малый угол с точностью до числового множителя порядка единицы можно получить совершенно элементарно. Рассмотрим относящийся к этому случаю рис. Грубо можно считать, что взаимодействие метеорита с Землей существенно только на ближайшем к Земле участке траектории АВ длиной порядка $l$: другие участки почти прямолинейны, так как там сила земного притяжения практически параллельна скорости метеорита. В рассматриваемом движении модуль скорости практически не изменяется и продолжительность действия силы земного тяготения на метеорит можно принять равной $\Delta t \approx l/v_{0}$. Силу приближенно можно положить равной $mgR^{2}/l^{2}$. Таким образом, приращение импульса метеорита $\Delta p$ в направлении, перпендикулярном направлению его движения, составляет по порядку величины
$\Delta p = F \Delta t \approx mgR^{2}/lv_{0}$.
Отсюда для угла отклонения $\theta$ легко получить
$\theta \approx \frac{ \Delta p}{p} = \frac{ \Delta p}{mv_{0}} = \frac{gR^{2}}{lv_{0}^{2}}$.
