ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-10-05   
В результате трения в верхних слоях атмосферы механическая энергия спутника Земли за много витков уменьшилась на 2 %. Орбита спутника при этом как была, так и осталась круговой. Как изменились параметры орбиты: радиус $r$, скорость $v$, период обращения $T$?


Решение:


В системе отсчета, связанной с Землей, механическая энергия спутника $E$ есть сумма его кинетической энергии и потенциальной энергии взаимодействия с Землей ($R$ — радиус Земли):

$E = \frac{mv^{2}}{2} - \frac{mgR^{2}}{r}$. (1)

Так как орбита спутника круговая, то его скорость постоянна и связана с радиусом орбиты соотношением

$v^{2} = gR^{2}/r$. (2)

С помощью (2) выражение для энергии спутника (1) можно представить в виде

$E(r) = - \frac{mgR^{2}}{r} + \frac{mgR^{2}}{2r} = - \frac{mgR^{2}}{2r}$. (3)


рис.1
Проиллюстрируем соотношение (3) графически. На рис. 1 показана зависимость потенциальной, кинетической и полной энергий спутника от радиуса $r$ круговой орбиты. Из рисунка видно, что увеличение механической энергии спутника приводит к увеличению радиуса орбиты. Поскольку при нашем выборе начала отсчета потенциальной энергии полная энергия спутника всегда отрицательна, относительное изменение энергии $\Delta E/E$ положительно при ее уменьшении ($\Delta E < 0$). Так как по условию полная энергия уменьшилась на 2 %, то $\Delta E/E$ положительно и равно^ 0,02. Соотношение (3) позволяет связать изменение энергии спутника с изменением радиуса орбиты $\Delta r$:

$E(r + \Delta r) = - \frac{1}{2} \frac{mgR^{2}}{r + \Delta r} = R(r) + \Delta E$. (4)

Правую часть этого выражения при $\Delta r/r \ll 1$ приближенно можно записать так:

$- \frac{1}{2} \frac{mgR^{2}}{r(1+ \Delta r/r)} \approx - \frac{1}{2} \frac{mgR^{2}}{r} \left ( 1 - \frac{ \Delta r}{r} \right ) = E(r) \left ( 1 - \frac{ \Delta r}{r} \right )$. (5)

Сравнивая (4) и (5), получаем

$E + \Delta E = E \left ( 1 - \frac{ \Delta r}{r} \right )$, т.е. $\frac{ \Delta r}{r} = - \frac{ \Delta E}{E} = - 0,02$.

Радиус орбиты также уменьшился на 2 %.

Изменение скорости спутника при изменении орбиты легко выразить через изменение радиуса орбиты с помощью соотношения (2):

$(v + \Delta v)^{2} = gR^{2}/(r + \Delta r)$. (6)

Поскольку $\Delta v / v \ll 1$, левую часть этого соотношения приближенно можно записать в виде

$v^{2} \left ( 1 + \frac{ \Delta v}{v} \right )^{2} \approx v^{2} \left ( 1 + 2 \frac{ \Delta v}{v} \right )$.

Преобразовав правую часть формулы (6) так же, как и при переходе от (4) к (5), получим

$v^{2} \left ( 1 + 2 \frac{ \Delta v}{v} \right ) = \frac{gR^{}}{r} \left ( 1 - \frac{ \Delta r}{r} \right )$,

откуда, учитывая (2), находим

$\frac{ \Delta v}{v} = - \frac{ \Delta r}{2r} = \frac{ \Delta E}{2E} = 0,01$.

Скорость спутника увеличилась на 1 %. Обратите внимание, что слабое торможение спутника в верхних слоях атмосферы приводит к увеличению его скорости.

Осталось найти изменение периода обращения. Это легко сделать, зная $\Delta r/r$ и $\Delta v / v$, поскольку период связан с радиусом орбиты и скоростью спутника соотношением $T = 2 \pi r /v$. Записывая значение периода обращения при изменившихся радиусе орбиты и скорости спутника:

$T + \Delta T = 2 \pi (r + \Delta r)/(v + \Delta v)$,

и преобразуя правую часть подобно тому, как это делалось выше,

$2 \pi \frac{r (1 + \Delta r /r)}{v(1 + \Delta v / v)} \approx T \left ( 1 + \frac{ \Delta r}{r} - \frac{ \Delta v}{v} \right )$,

находим

$\frac{ \Delta T}{T} = \frac{ \Delta r}{r} - \frac{ \Delta v}{v} = - \frac{3 \Delta E}{2E} = - 0,03$.

Период обращения уменьшился на 3 %.