Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4159
2017-10-05 
Хорошо известно, что для совершения межпланетного путешествия находящемуся на поверхности Земли космическому кораблю необходимо сообщить начальную скорость 11,2 км/с (вторая космическая скорость). Однако в случае запуска космического корабля не с поверхности Земли, а через туннель, прорытый насквозь через центр Земли, получается потрясающий результат. Оказывается, что космическому кораблю, свободно падающему в таком туннеле, достаточно сообщить в тот момент, когда он проходит через центр Земли, дополнительную скорость всего лишь в 5,8 км/с, что составляет лишь 52 % от второй космической скорости. Тогда при выходе из туннеля он будет иметь скорость как раз 11,2 км/с и сможет совершить космическое путешествие. Это значит, что для запуска одного и того же корабля потребуется меньшая ракета и расход топлива будет менее значительным. Объяснить, почему возможен такой выигрыш.
Решение:
Прежде всего выясним, какую скорость приобретет ракета при свободном падении сквозь туннель до центра Земли. Это можно сделать с помощью закона сохранения энергии, только сначала нужно выяснить, как различаются между собой значения потенциальной энергии на поверхности Земли и в ее центре.
Будем считать, что Земля представляет собой сплошной однородный шар. Выясним, как действующая на тело сила тяжести зависит от его положения в туннеле. Очевидно, что в центре Земли эта сила равна нулю. Это непосредственно следует из симметрии картины. Найти силу тяжести в произвольной точке можно точно таким же способом, каким определяется напряженность электростатического поля внутри равномерно заряженного шара.
рис.1
рис.2
рис.3
Разобьем мысленно земной шар на тонкие сферические концентрические слои (рис. 1). По принципу суперпозиции полная сила, действующая на тело в туннеле, равна векторной сумме сил, действующих на него со стороны отдельных слоев. Легко убедиться в том, что сила тяготения, действующая со стороны любого слоя на тело, находящееся внутри этого слоя, равна нулю. Это сразу видно из построения, показанного на рис. 2. Части оболочки с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ притягивают тело массы $m$ с силами, пропорциональными этим массам и обратно пропорциональными квадратам расстояний $r_{1}$ и $r_{2}$. Но сами массы $m_{1}$ и $m_{2}$, как видно из рисунка, пропорциональны квадратам соответствующих расстояний. В результате силы тяготения, действующие со стороны выделенных участков сферического слоя, уравновешиваются, что и доказывает сделанное утверждение. Именно таким рассуждением отсутствие силы тяготения внутри сферической оболочки было установлено еще Ньютоном.
Таким образом, на тело в туннеле в точке А (рис. 1) действует сила тяжести только со стороны заштрихованного шара, на поверхности которого находится это тело. Так как масса заштрихованного шара пропорциональна кубу его радиуса $r$, а сила тяготения пропорциональна массе (т. е. $r^{3}$) и в то же время обратно пропорциональна квадрату радиуса, то эта сила пропорциональна радиусу шара: $ \sim r$. Так как на поверхности Земли при $r = R$ сила тяжести равна $mg$, то на произвольном расстоянии $r$ от центра при $r \leq R$ имеем
$F(r) = mgr/R$. (1)
При $r > R$ сила тяжести убывает обратно пропорционально квадрату расстояния; график зависимости силы тяжести от $r$ показан на рис. 3.
Теперь легко найти выражение для потенциальной энергии тела, находящегося в туннеле. Для этого мысленно поднимем тело из центра Земли на расстояние $r$, перемещая его равномерно. Очевидно, что для этого внешняя сила в каждой точке должна быть равна силе тяжести $F(r)$ и противоположно направлена. Работа этой силы, равная площади заштрихованного треугольника $mgr^{2}/2R$, определяет изменение потенциальной энергии $\Delta E_{п}$:
$ \Delta E_{п} = \frac{mgr^{2}}{2R}$. (2)
Обычно потенциальную энергию принимают равной нулю, когда тело находится на бесконечно большом расстоянии от Земли (как, например, в формуле (3) из введения к этому разделу). В этой задаче удобно принять потенциальную энергию равной нулю, когда тело находится в центре Земли. Тогда с помощью формулы (2) найдем, что при $r \leq R$
$E_{п}(r) = \frac{mgr^{2}}{2R}$. (3)
На поверхности Земли потенциальная энергия при этом будет равна $mgR/2$, а на бесконечно большом расстоянии от Земли $3mgR/2$. График зависимости потенциальной энергии от $r$ также показан на рис. 3.
Формула (3) позволяет найти скорость ракеты $v$ в центре Земли при свободном падении с поверхности. Приравнивая потенциальную энергию на поверхности $mgR/2$ кинетической энергии ракеты в центре Земли $mv^{2}/2$, получаем
$v = \sqrt{gR}$. (4)
Видно, что эта скорость равна первой космической скорости для спутника, движущегося вблизи поверхности Земли ($v_{1} =7,9 км/с$).
Теперь предположим, что в тот момент, когда ракета пролетает через центр Земли, срабатывают двигатели, которые изменяют ее скорость на $\Delta v$. Тогда, подлетев к поверхности Земли, на выходе из туннеля ракета будет обладать скоростью $v_{1}$, которая находится с помощью закона сохранения энергии:
$\frac{m(v + \Delta v)^{2}}{2} = \frac{mv_{1}^{2}}{2} + \frac{mgR}{2}$. (5)
Потребуем, чтобы $v_{1}$ была равна второй космической скорости $v_{II} = \sqrt{2gR}$. Тогда для необходимого приращения скорости $\Delta v$ из уравнения (5) после подстановки в него $v = \sqrt{gR}$, решая квадратное уравнение, получаем
$\Delta v = \sqrt{gR}( - 1 + \sqrt{3})$. (6)
Взяв корень со знаком плюс, получаем значение $\Delta v= = ( \sqrt{3} - 1) \sqrt{gR} = 5,8 км/с$. Второй корень соответствует изменению направления скорости ракеты в результате срабатывания двигателей на противоположное (т. е. торможению с последующим разгоном) и не представляет интереса в рассматриваемом примере.
Естественно задуматься над вопросом, за счет чего получается такой «выигрыш» в энергии при использовании туннеля. При сгорании топлива в двигателях ракеты определенная часть его внутренней энергии превращается в кинетическую энергию ракеты и выброшенных газов. Если до срабатывания двигателей ракета была неподвижна на поверхности Земли, то в силу закона сохранения импульса некоторая (и немалая!) доля высвобождающейся энергии обязательно перейдет в кинетическую энергию газов. Если же двигатели срабатывают в тот момент, когда ракета уже имеет некоторую скорость, то передаваемая газам доля кинетической энергии может быть меньше. Например, если при движении в туннеле скорость истечения газов из сопла двигателя ракеты будет равна скорости ракеты относительно Земли, то скорость выброшенных газов относительно Земли будет равна нулю. Другими словами, в системе отсчета, связанной с Землей, выброшенные газы вообще не будут обладать кинетической энергией, и вся высвобождающаяся механическая энергия целиком «достается» ракете. Ракете же достанется и кинетическая энергия топлива, которой оно обладало до срабатывания двигателей.
Интересно отметить, что свободное падение ракеты в туннеле представляет собой гармоническое колебание около центра Земли, при котором ракета пролетает через земной шар по диаметру от одного края туннеля до другого. Так происходит потому, что действующая в туннеле сила тяжести направлена к центру Земли и пропорциональна расстоянию до него. С помощью формулы (1) легко найти период таких колебаний. Поскольку частота $\omega = \sqrt{g/R}$, то период $T = 2 \pi/ \omega =2 \pi \sqrt{R/g}$, что совпадает с периодом обращения спутника по низкой круговой орбите.
Разумеется, осуществление описанного здесь фантастического космического проекта лежит за пределами технических возможностей. Ни прорыть такой туннель через центр Земли, ни откачать из него воздух, что совершенно необходимо для того, чтобы свободное падение ракеты в нем происходило без сопротивления, конечно, невозможно.
Но сама идея использовать поле тяготения для экономии топлива космических кораблей, несомненно, представляет интерес. Например, в космическом путешествии за пределы Солнечной системы можно использовать поле тяготения одной из тяжелых планет для предварительного разгона и включать двигатели корабля для сообщения необходимого импульса вблизи этой планеты.
Хорошо известно, что для совершения межпланетного путешествия находящемуся на поверхности Земли космическому кораблю необходимо сообщить начальную скорость 11,2 км/с (вторая космическая скорость). Однако в случае запуска космического корабля не с поверхности Земли, а через туннель, прорытый насквозь через центр Земли, получается потрясающий результат. Оказывается, что космическому кораблю, свободно падающему в таком туннеле, достаточно сообщить в тот момент, когда он проходит через центр Земли, дополнительную скорость всего лишь в 5,8 км/с, что составляет лишь 52 % от второй космической скорости. Тогда при выходе из туннеля он будет иметь скорость как раз 11,2 км/с и сможет совершить космическое путешествие. Это значит, что для запуска одного и того же корабля потребуется меньшая ракета и расход топлива будет менее значительным. Объяснить, почему возможен такой выигрыш.
Решение:
Прежде всего выясним, какую скорость приобретет ракета при свободном падении сквозь туннель до центра Земли. Это можно сделать с помощью закона сохранения энергии, только сначала нужно выяснить, как различаются между собой значения потенциальной энергии на поверхности Земли и в ее центре.
Будем считать, что Земля представляет собой сплошной однородный шар. Выясним, как действующая на тело сила тяжести зависит от его положения в туннеле. Очевидно, что в центре Земли эта сила равна нулю. Это непосредственно следует из симметрии картины. Найти силу тяжести в произвольной точке можно точно таким же способом, каким определяется напряженность электростатического поля внутри равномерно заряженного шара.
рис.1
рис.2
рис.3
Разобьем мысленно земной шар на тонкие сферические концентрические слои (рис. 1). По принципу суперпозиции полная сила, действующая на тело в туннеле, равна векторной сумме сил, действующих на него со стороны отдельных слоев. Легко убедиться в том, что сила тяготения, действующая со стороны любого слоя на тело, находящееся внутри этого слоя, равна нулю. Это сразу видно из построения, показанного на рис. 2. Части оболочки с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ притягивают тело массы $m$ с силами, пропорциональными этим массам и обратно пропорциональными квадратам расстояний $r_{1}$ и $r_{2}$. Но сами массы $m_{1}$ и $m_{2}$, как видно из рисунка, пропорциональны квадратам соответствующих расстояний. В результате силы тяготения, действующие со стороны выделенных участков сферического слоя, уравновешиваются, что и доказывает сделанное утверждение. Именно таким рассуждением отсутствие силы тяготения внутри сферической оболочки было установлено еще Ньютоном.
Таким образом, на тело в туннеле в точке А (рис. 1) действует сила тяжести только со стороны заштрихованного шара, на поверхности которого находится это тело. Так как масса заштрихованного шара пропорциональна кубу его радиуса $r$, а сила тяготения пропорциональна массе (т. е. $r^{3}$) и в то же время обратно пропорциональна квадрату радиуса, то эта сила пропорциональна радиусу шара: $ \sim r$. Так как на поверхности Земли при $r = R$ сила тяжести равна $mg$, то на произвольном расстоянии $r$ от центра при $r \leq R$ имеем
$F(r) = mgr/R$. (1)
При $r > R$ сила тяжести убывает обратно пропорционально квадрату расстояния; график зависимости силы тяжести от $r$ показан на рис. 3.
Теперь легко найти выражение для потенциальной энергии тела, находящегося в туннеле. Для этого мысленно поднимем тело из центра Земли на расстояние $r$, перемещая его равномерно. Очевидно, что для этого внешняя сила в каждой точке должна быть равна силе тяжести $F(r)$ и противоположно направлена. Работа этой силы, равная площади заштрихованного треугольника $mgr^{2}/2R$, определяет изменение потенциальной энергии $\Delta E_{п}$:
$ \Delta E_{п} = \frac{mgr^{2}}{2R}$. (2)
Обычно потенциальную энергию принимают равной нулю, когда тело находится на бесконечно большом расстоянии от Земли (как, например, в формуле (3) из введения к этому разделу). В этой задаче удобно принять потенциальную энергию равной нулю, когда тело находится в центре Земли. Тогда с помощью формулы (2) найдем, что при $r \leq R$
$E_{п}(r) = \frac{mgr^{2}}{2R}$. (3)
На поверхности Земли потенциальная энергия при этом будет равна $mgR/2$, а на бесконечно большом расстоянии от Земли $3mgR/2$. График зависимости потенциальной энергии от $r$ также показан на рис. 3.
Формула (3) позволяет найти скорость ракеты $v$ в центре Земли при свободном падении с поверхности. Приравнивая потенциальную энергию на поверхности $mgR/2$ кинетической энергии ракеты в центре Земли $mv^{2}/2$, получаем
$v = \sqrt{gR}$. (4)
Видно, что эта скорость равна первой космической скорости для спутника, движущегося вблизи поверхности Земли ($v_{1} =7,9 км/с$).
Теперь предположим, что в тот момент, когда ракета пролетает через центр Земли, срабатывают двигатели, которые изменяют ее скорость на $\Delta v$. Тогда, подлетев к поверхности Земли, на выходе из туннеля ракета будет обладать скоростью $v_{1}$, которая находится с помощью закона сохранения энергии:
$\frac{m(v + \Delta v)^{2}}{2} = \frac{mv_{1}^{2}}{2} + \frac{mgR}{2}$. (5)
Потребуем, чтобы $v_{1}$ была равна второй космической скорости $v_{II} = \sqrt{2gR}$. Тогда для необходимого приращения скорости $\Delta v$ из уравнения (5) после подстановки в него $v = \sqrt{gR}$, решая квадратное уравнение, получаем
$\Delta v = \sqrt{gR}( - 1 + \sqrt{3})$. (6)
Взяв корень со знаком плюс, получаем значение $\Delta v= = ( \sqrt{3} - 1) \sqrt{gR} = 5,8 км/с$. Второй корень соответствует изменению направления скорости ракеты в результате срабатывания двигателей на противоположное (т. е. торможению с последующим разгоном) и не представляет интереса в рассматриваемом примере.
Естественно задуматься над вопросом, за счет чего получается такой «выигрыш» в энергии при использовании туннеля. При сгорании топлива в двигателях ракеты определенная часть его внутренней энергии превращается в кинетическую энергию ракеты и выброшенных газов. Если до срабатывания двигателей ракета была неподвижна на поверхности Земли, то в силу закона сохранения импульса некоторая (и немалая!) доля высвобождающейся энергии обязательно перейдет в кинетическую энергию газов. Если же двигатели срабатывают в тот момент, когда ракета уже имеет некоторую скорость, то передаваемая газам доля кинетической энергии может быть меньше. Например, если при движении в туннеле скорость истечения газов из сопла двигателя ракеты будет равна скорости ракеты относительно Земли, то скорость выброшенных газов относительно Земли будет равна нулю. Другими словами, в системе отсчета, связанной с Землей, выброшенные газы вообще не будут обладать кинетической энергией, и вся высвобождающаяся механическая энергия целиком «достается» ракете. Ракете же достанется и кинетическая энергия топлива, которой оно обладало до срабатывания двигателей.
Интересно отметить, что свободное падение ракеты в туннеле представляет собой гармоническое колебание около центра Земли, при котором ракета пролетает через земной шар по диаметру от одного края туннеля до другого. Так происходит потому, что действующая в туннеле сила тяжести направлена к центру Земли и пропорциональна расстоянию до него. С помощью формулы (1) легко найти период таких колебаний. Поскольку частота $\omega = \sqrt{g/R}$, то период $T = 2 \pi/ \omega =2 \pi \sqrt{R/g}$, что совпадает с периодом обращения спутника по низкой круговой орбите.
Разумеется, осуществление описанного здесь фантастического космического проекта лежит за пределами технических возможностей. Ни прорыть такой туннель через центр Земли, ни откачать из него воздух, что совершенно необходимо для того, чтобы свободное падение ракеты в нем происходило без сопротивления, конечно, невозможно.
Но сама идея использовать поле тяготения для экономии топлива космических кораблей, несомненно, представляет интерес. Например, в космическом путешествии за пределы Солнечной системы можно использовать поле тяготения одной из тяжелых планет для предварительного разгона и включать двигатели корабля для сообщения необходимого импульса вблизи этой планеты.
