Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4158
2017-10-05 
Игрушечный автомобиль с полностью заведенной пружиной может разогнаться до скорости $v$. Пренебрегая потерями энергии на трение, можно считать, что потенциальная энергия заведенной пружины $W$ целиком превратилась в кинетическую энергию игрушки. Рассмотрим этот же процесс в другой инерциальной системе отсчета, которая движется со скоростью $v$ относительно Земли навстречу игрушечному автомобилю. В этой системе отсчета окончательная скорость игрушки равна $2v$, т. е, вдвое больше, а ее кинетическая энергия в четыре раза больше, т. е. равна $4W$. Так как в этой системе отсчета автомобиль с самого начала имел кинетическую энергию $W$, то в результате раскручивания пружины его кинетическая энергия возросла на $3W$, а не на $W$, как в исходной системе отсчета. Между тем потенциальная энергия заведенной пружины в обоих случаях равна $W$. Объясните этот парадокс.
Решение:
Парадокс возникает потому, что в приведенных рассуждениях не учитывалась кинетическая энергия Земли и ее изменение при взаимодействии колес игрушки с дорогой. Если же это изменение учесть аккуратно, то никакого парадокса вообще не возникает и закон сохранения энергии, разумеется, оказывается выполненным.
Рассмотрим сначала систему отсчета, в которой Земля неподвижна. В этой системе отсчета до разгона автомобиля полный импульс равен нулю. При разгоне автомобиля он приобретает скорость $v$, а Земля приобретает скорость $V$, направленную противоположно ($V < 0$). Полный импульс системы остается неизменным, поэтому
$mv + MV = 0$, (1)
где $m$ — масса игрушки, $M$ — масса Земли.
Так как действующая на Землю со стороны колес игрушки сила не проходит через центр Земли, то кроме поступательного движения со скоростью $V$ Земля приходит также и во вращение с некоторой уголовой скоростью $\omega$ (рис. 1). Забудем пока об этом вращении Земли и будем считать, что Земля движется только поступательно.
При раскручивании пружины ее потенциальная энергия $W$ превращается в кинетическую энергию игрушки и Земли:
$W = \frac{mv^{2}}{2} + \frac{MV^{2}}{2}$. (2)
Выражая $V$ из уравнения (1) и подставляя в (2), находим
$W = \frac{mv^{2}}{2} \left ( 1 + \frac{m}{M} \right )$. (3)
Так как масса игрушки $m$ неизмеримо меньше массы Земли ($m/M \ll 1$), то, как видно из формулы (3), практически вся энергия пружины превращается в кинетическую энергию игрушки.
Теперь рассмотрим тот же процесс с точки зрения второй системы отсчета, в которой скорость игрушки и Земли сначала равна $v$. Полный импульс в этой системе отсчета равен $(m + M)v$. После разгона скорость игрушки равна $2v$, а скорость Земли обозначим через $V_{1}$. На основании закона сохранения импульса
$m(2v) + MV_{1} = (m + M)v$. (4)
Кинетическая энергия игрушки после разгона $m(2v)^{2}/2$, а кинетическая энергия Земли есть $MV_{1}^{2}/2$. Изменение полной кинетической энергии
$\Delta E = \frac{m(2v)^{2}}{2} + \frac{MV_{1}^{2}}{2} - \frac{(m + M)v^{2}}{2}$. (5)
Выразим $V_{1}$ из уравнения (4) и подставим в (5):
$\Delta E = 3 \frac{mv^{2}}{2} + \frac{M}{2} \left ( \left ( 1 - \frac{m}{M} \right )^{2} v^{2} - v^{2} \right )$. (6)
После простых алгебраических преобразований выражение (6) приводится к виду
$\Delta E = \frac{mv^{2}}{2} \left ( 1 + \frac{m}{M} \right )$. (7)
Сравнивая правую часть (7) с формулой (3), видим, что и в этом случае изменение кинетической энергий всей системы равно потенциальной энергии пружины $W$.
Изменение кинетической энергии игрушки при разгоне в этой системе отсчета действительно в три раза больше, чем изменение этой энергии в системе отсчета, связанной с Землей. Однако теперь изменение кинетической энергии Земли такого же порядка, что и изменение энергии игрушки, в отличие от изменения энергии Земли в исходной системе отсчета, где оно было ничтожным. В новой системе отсчета колеса игрушки при разгоне тормозят движение Земли, и ее кинетическая энергия убывает. Увеличение кинетической энергии игрушки в этой системе отсчета происходит не только за счет потенциальной энергии пружины, но и за счет уменьшения кинетической энергии Земли.
Разобранный пример наглядно показывает, с какой осторожностью нужно подходить к вопросу о том, что существенно в рассматриваемом явлении, а чем можно пренебречь. Использовать можно любую систему отсчета, и при точном решении задачи выбор системы отсчета безразличен. Однако при нахождении приближенного решения пренебрежения, допустимые в одной системе отсчета, "могут оказаться совершенно непригодными в другой. Так, в рассмотренном примере можно было пренебрегать изменением кинетической энергии Земли и считать, что изменение энергии автомобиля равно энергии пружины при использовании системы отсчета, связанной с Землей. Если пользоваться другой системой отсчета, то и при приближенном решении пренебрегать изменением кинетической энергии Земли нельзя, несмотря на то, что изменение скорости Земли, как легко убедиться, одинаково и в той, и в другой системе отсчета.
Обсудим теперь, что изменится в рассуждениях, если учитывать вызываемое игрушкой вращение Земли. В правой части формулы (2) кроме кинетической энергии поступательного движения Земли будет присутствовать еще и кинетическая энергия вращения Земли. Она будет такого же порядка величины, что и кинетическая энергия поступательного движения Земли. Поэтому в системе отсчета, где Земля была неподвижной, ею, как и энергией поступательного движения Земли, можно пренебречь и считать, что вся потенциальная энергия пружины превращается в кинетическую энергию игрушки.
Во второй системе отсчета (где скорости игрушки и Земли сначала равны $v$) кинетическая энергия вращения Земли будет такой же, как и в первой системе отсчета, поскольку приобретенная Землей угловая скорость $\omega$ одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Поэтому, в отличие от кинетической энергии поступательного движения Земли, энергией вращения можно пренебречь и во второй системе отсчета.
Игрушечный автомобиль с полностью заведенной пружиной может разогнаться до скорости $v$. Пренебрегая потерями энергии на трение, можно считать, что потенциальная энергия заведенной пружины $W$ целиком превратилась в кинетическую энергию игрушки. Рассмотрим этот же процесс в другой инерциальной системе отсчета, которая движется со скоростью $v$ относительно Земли навстречу игрушечному автомобилю. В этой системе отсчета окончательная скорость игрушки равна $2v$, т. е, вдвое больше, а ее кинетическая энергия в четыре раза больше, т. е. равна $4W$. Так как в этой системе отсчета автомобиль с самого начала имел кинетическую энергию $W$, то в результате раскручивания пружины его кинетическая энергия возросла на $3W$, а не на $W$, как в исходной системе отсчета. Между тем потенциальная энергия заведенной пружины в обоих случаях равна $W$. Объясните этот парадокс.
Решение:
Парадокс возникает потому, что в приведенных рассуждениях не учитывалась кинетическая энергия Земли и ее изменение при взаимодействии колес игрушки с дорогой. Если же это изменение учесть аккуратно, то никакого парадокса вообще не возникает и закон сохранения энергии, разумеется, оказывается выполненным.
Рассмотрим сначала систему отсчета, в которой Земля неподвижна. В этой системе отсчета до разгона автомобиля полный импульс равен нулю. При разгоне автомобиля он приобретает скорость $v$, а Земля приобретает скорость $V$, направленную противоположно ($V < 0$). Полный импульс системы остается неизменным, поэтому
$mv + MV = 0$, (1)
где $m$ — масса игрушки, $M$ — масса Земли.
Так как действующая на Землю со стороны колес игрушки сила не проходит через центр Земли, то кроме поступательного движения со скоростью $V$ Земля приходит также и во вращение с некоторой уголовой скоростью $\omega$ (рис. 1). Забудем пока об этом вращении Земли и будем считать, что Земля движется только поступательно.
При раскручивании пружины ее потенциальная энергия $W$ превращается в кинетическую энергию игрушки и Земли:
$W = \frac{mv^{2}}{2} + \frac{MV^{2}}{2}$. (2)
Выражая $V$ из уравнения (1) и подставляя в (2), находим
$W = \frac{mv^{2}}{2} \left ( 1 + \frac{m}{M} \right )$. (3)
Так как масса игрушки $m$ неизмеримо меньше массы Земли ($m/M \ll 1$), то, как видно из формулы (3), практически вся энергия пружины превращается в кинетическую энергию игрушки.
Теперь рассмотрим тот же процесс с точки зрения второй системы отсчета, в которой скорость игрушки и Земли сначала равна $v$. Полный импульс в этой системе отсчета равен $(m + M)v$. После разгона скорость игрушки равна $2v$, а скорость Земли обозначим через $V_{1}$. На основании закона сохранения импульса
$m(2v) + MV_{1} = (m + M)v$. (4)
Кинетическая энергия игрушки после разгона $m(2v)^{2}/2$, а кинетическая энергия Земли есть $MV_{1}^{2}/2$. Изменение полной кинетической энергии
$\Delta E = \frac{m(2v)^{2}}{2} + \frac{MV_{1}^{2}}{2} - \frac{(m + M)v^{2}}{2}$. (5)
Выразим $V_{1}$ из уравнения (4) и подставим в (5):
$\Delta E = 3 \frac{mv^{2}}{2} + \frac{M}{2} \left ( \left ( 1 - \frac{m}{M} \right )^{2} v^{2} - v^{2} \right )$. (6)
После простых алгебраических преобразований выражение (6) приводится к виду
$\Delta E = \frac{mv^{2}}{2} \left ( 1 + \frac{m}{M} \right )$. (7)
Сравнивая правую часть (7) с формулой (3), видим, что и в этом случае изменение кинетической энергий всей системы равно потенциальной энергии пружины $W$.
Изменение кинетической энергии игрушки при разгоне в этой системе отсчета действительно в три раза больше, чем изменение этой энергии в системе отсчета, связанной с Землей. Однако теперь изменение кинетической энергии Земли такого же порядка, что и изменение энергии игрушки, в отличие от изменения энергии Земли в исходной системе отсчета, где оно было ничтожным. В новой системе отсчета колеса игрушки при разгоне тормозят движение Земли, и ее кинетическая энергия убывает. Увеличение кинетической энергии игрушки в этой системе отсчета происходит не только за счет потенциальной энергии пружины, но и за счет уменьшения кинетической энергии Земли.
Разобранный пример наглядно показывает, с какой осторожностью нужно подходить к вопросу о том, что существенно в рассматриваемом явлении, а чем можно пренебречь. Использовать можно любую систему отсчета, и при точном решении задачи выбор системы отсчета безразличен. Однако при нахождении приближенного решения пренебрежения, допустимые в одной системе отсчета, "могут оказаться совершенно непригодными в другой. Так, в рассмотренном примере можно было пренебрегать изменением кинетической энергии Земли и считать, что изменение энергии автомобиля равно энергии пружины при использовании системы отсчета, связанной с Землей. Если пользоваться другой системой отсчета, то и при приближенном решении пренебрегать изменением кинетической энергии Земли нельзя, несмотря на то, что изменение скорости Земли, как легко убедиться, одинаково и в той, и в другой системе отсчета.
Обсудим теперь, что изменится в рассуждениях, если учитывать вызываемое игрушкой вращение Земли. В правой части формулы (2) кроме кинетической энергии поступательного движения Земли будет присутствовать еще и кинетическая энергия вращения Земли. Она будет такого же порядка величины, что и кинетическая энергия поступательного движения Земли. Поэтому в системе отсчета, где Земля была неподвижной, ею, как и энергией поступательного движения Земли, можно пренебречь и считать, что вся потенциальная энергия пружины превращается в кинетическую энергию игрушки.
Во второй системе отсчета (где скорости игрушки и Земли сначала равны $v$) кинетическая энергия вращения Земли будет такой же, как и в первой системе отсчета, поскольку приобретенная Землей угловая скорость $\omega$ одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Поэтому, в отличие от кинетической энергии поступательного движения Земли, энергией вращения можно пренебречь и во второй системе отсчета.
