Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4157
2017-10-05 
На идеально гладкой горизонтальной поверхности вертикально стоит гантель, представляющая собой два одинаковых шарика, соединенных невесомым стержнем длины $l$. Нижнему шарику мгновенно сообщают скорость $v_{0}$ в горизонтальном направлении (рис. 1). При каких значениях $v_{0}$ шарик будет скользить, не отрываясь от плоскости? Какова будет скорость верхнего шарика в момент его удара о горизонтальную поверхность?
Решение:
рис.2
рис.3
рис.4
На все поставленные в условии вопросы гораздо легче ответить, если рассматривать движение гантели в системе отсчета, где ее центр масс движется по вертикали. Очевидно, что такая система отсчета движется относительно лабораторной системы отсчета с постоянной скоростью $v_{0}/2$, направленной горизонтально, и тоже является инерциальной. В этой системе отсчета скорости шариков в начальный момент равны $v_{0}/2$ и направлены горизонтально в противоположные стороны (рис. 2).
Выясним, при каком условии нижний шарик оторвался бы от поверхности. Ясно, что в этом случае сила реакции поверхности равна нулю, и, следовательно, гантель падает с ускорением свободного падения. Поскольку гантель еще и вращается вокруг центра масс, то нижний шарик имеет связанное с этим вращением центростремительное ускорение $a_{ц}$, направленное вверх:
$a_{ц} = \frac{(v_{0}/2)^{2}}{l/2} = \frac{v_{0}^{2}}{2l}$. (1)
Шарик оторвется от поверхности, если $a_{ц} > g$. В противоположном случае ($a_{ц} < g$) шарик не отрывается. Для этого его скорость должна удовлетворять условию
$v_{0}^{2} < 2gl$. (2)
Для нахождения скорости верхнего шарика в момент удара можно воспользоваться законом сохранения энергии. В этот момент во введенной системе отсчета его скорость $v_{1}$ направлена вертикально вниз, а скорость скользившего по поверхности шарика обращается в нуль (рис. 3). Действительно, в этой системе отсчета центр масс падает по вертикали. В момент падения гантели на поверхность стержень, соединяющий шарики, расположен горизонтально, поэтому горизонтальные составляющие скоростей всех его точек, в том числе середины и концов, в момент падения равны нулю.
Таким образом, закон сохранения энергии во введенной системе отсчета можно записать в виде
$\frac{mv_{1}^{2}}{2} = mgl + 2 \frac{m(v_{0}/2)^{2}}{2}$,
откуда
$v_{1}^{2} = 2gl + v_{0}^{2}/2$. (4)
В лабораторной системе отсчета скорость v падающего шарика в момент удара определяется выражением
$v^{2} = v_{1}^{2} + (v_{0}/2)^{2} = 2gl + 3v_{0}^{2}/4$. (5)
Направление этой скорости, как видно из рис. 4, составляет угол $\alpha$ с вертикалью, тангенс которого равен отношению $v_{0}/2$ к $v_{1}$:
$tg \alpha = \frac{v_{0}/2}{v_{1}} = \frac{v_{0}/2}{ \sqrt{ 2gl + v_{0}^{2}/2}} = \frac{1}{2 \sqrt{1/2 + 2gl/v_{0}^{2}}}$. (6)
Подчеркнем, что удачный выбор системы отсчета при решении этой задачи позволил обойтись, по существу, всего одной простой формулой (3), выражающей закон сохранения энергии.
На идеально гладкой горизонтальной поверхности вертикально стоит гантель, представляющая собой два одинаковых шарика, соединенных невесомым стержнем длины $l$. Нижнему шарику мгновенно сообщают скорость $v_{0}$ в горизонтальном направлении (рис. 1). При каких значениях $v_{0}$ шарик будет скользить, не отрываясь от плоскости? Какова будет скорость верхнего шарика в момент его удара о горизонтальную поверхность?
Решение:
рис.2
рис.3
рис.4
На все поставленные в условии вопросы гораздо легче ответить, если рассматривать движение гантели в системе отсчета, где ее центр масс движется по вертикали. Очевидно, что такая система отсчета движется относительно лабораторной системы отсчета с постоянной скоростью $v_{0}/2$, направленной горизонтально, и тоже является инерциальной. В этой системе отсчета скорости шариков в начальный момент равны $v_{0}/2$ и направлены горизонтально в противоположные стороны (рис. 2).
Выясним, при каком условии нижний шарик оторвался бы от поверхности. Ясно, что в этом случае сила реакции поверхности равна нулю, и, следовательно, гантель падает с ускорением свободного падения. Поскольку гантель еще и вращается вокруг центра масс, то нижний шарик имеет связанное с этим вращением центростремительное ускорение $a_{ц}$, направленное вверх:
$a_{ц} = \frac{(v_{0}/2)^{2}}{l/2} = \frac{v_{0}^{2}}{2l}$. (1)
Шарик оторвется от поверхности, если $a_{ц} > g$. В противоположном случае ($a_{ц} < g$) шарик не отрывается. Для этого его скорость должна удовлетворять условию
$v_{0}^{2} < 2gl$. (2)
Для нахождения скорости верхнего шарика в момент удара можно воспользоваться законом сохранения энергии. В этот момент во введенной системе отсчета его скорость $v_{1}$ направлена вертикально вниз, а скорость скользившего по поверхности шарика обращается в нуль (рис. 3). Действительно, в этой системе отсчета центр масс падает по вертикали. В момент падения гантели на поверхность стержень, соединяющий шарики, расположен горизонтально, поэтому горизонтальные составляющие скоростей всех его точек, в том числе середины и концов, в момент падения равны нулю.
Таким образом, закон сохранения энергии во введенной системе отсчета можно записать в виде
$\frac{mv_{1}^{2}}{2} = mgl + 2 \frac{m(v_{0}/2)^{2}}{2}$,
откуда
$v_{1}^{2} = 2gl + v_{0}^{2}/2$. (4)
В лабораторной системе отсчета скорость v падающего шарика в момент удара определяется выражением
$v^{2} = v_{1}^{2} + (v_{0}/2)^{2} = 2gl + 3v_{0}^{2}/4$. (5)
Направление этой скорости, как видно из рис. 4, составляет угол $\alpha$ с вертикалью, тангенс которого равен отношению $v_{0}/2$ к $v_{1}$:
$tg \alpha = \frac{v_{0}/2}{v_{1}} = \frac{v_{0}/2}{ \sqrt{ 2gl + v_{0}^{2}/2}} = \frac{1}{2 \sqrt{1/2 + 2gl/v_{0}^{2}}}$. (6)
Подчеркнем, что удачный выбор системы отсчета при решении этой задачи позволил обойтись, по существу, всего одной простой формулой (3), выражающей закон сохранения энергии.
