Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4154
2017-10-05 
На конце доски длины $L$ и массы $M$ находится маленький брусок массы $m$ (рис.). Доска может скользить без трения по горизонтальной плоскости. Коэффициент трения скольжения бруска о поверхность доски равен $\mu$. Какую горизонтальную скорость $v_{0}$ нужно толчком сообщить доске, чтобы она выскользнула из-под бруска?
Решение:
При сообщении доске горизонтальной скорости $v_{0}$ резким толчком или ударом брусок не получает начальной скорости относительно земли, так как действующая на него со стороны доски сила трения не может превосходить $\mu mg$ и за короткое время удара не может сообщить бруску заметного импульса. После толчка в системе отсчета, связанной с землей, брусок движется равноускоренно, а доска — равнозамедленно.
Если начальная скорость доски $v_{0}$ невелика, то может наступить такой момент, когда скорости доски и бруска примут одинаковое значение. В этот момент проскальзывание прекращается, дальше оба тела движутся равномерно с одинаковой скоростью v как одно тело, и доска, разумеется, уже не выскользнет из-под бруска. Если же начальная скорость доски достаточно велика, то скорости доски и бруска могут не успеть сравняться за то время, пока брусок проскользит вдоль всей доски. В этом случае доска выскользнет из-под бруска.
Обозначим расстояние, пройденное бруском по доске до момента превращения проскальзывания, через $s$. Очевидно, что при выполнении неравенства $s < L$ доска не выскальзывает из-под бруска. Если это неравенство не выполняется, то доска выскользнет из-под бруска.
Эта задача служит наглядным примером того, насколько проще и быстрее может приводить к ответу использование законов сохранения по сравнению с непосредственным применением законов динамики. Оказывается, что достаточно выписать два уравнения, соответствующих законам сохранения импульса и энергии, чтобы немедленно получить ответ.
Поскольку по условию между доской и плоскостью трение отсутствует, то направленный горизонтально полный импульс системы остается без изменения. Так как после прекращения проскальзывания оба тела движутся с одинаковой скоростью $v$, то
$Mv_{0} = (M + m)v$. (1)
Для применения закона сохранения энергии нужно прежде всего подсчитать работу сил трения, действующих между бруском и доской. Эти силы равны по модулю и противоположно направлены. Сила трения, действующая на брусок, разгоняет его, увеличивая его кинетическую энергию. Работа этой силы положительна. Сила трения, действующая на доску, тормозит ее; работа этой силы отрицательна. Очевидно, что относительно земли точка приложения силы трения, действующей на доску, совершает перемещение $s_{1}$, которое больше перемещения точки приложения второй силы трения $s_{2}$ на величину $s$ (рис. 2). Поэтому суммарная работа сил трения отрицательна и равна $- \mu mgs$.
Таким образом, уравнение закона сохранения энергии записывается в виде
$\frac{(m + M)v^{2}}{2} - \frac{Mv_{0}^{2}}{2} = - \mu mgs$. (2)
Выражая $v$ из уравнения (1) и подставляя в (2), находим
$s = \frac{1}{2} \frac{M}{m+M} \frac{v_{0}^{2}}{ \mu g}$. (3)
Если вычисленное по формуле (3) значение $s$ окажется больше $L$, то это и будет означать, что при такой начальной скорости доски $v_{0}$ она выскользнет из-под бруска. Отсюда находим необходимое для этого значение $v_{0}$:
$v_{0} > \sqrt{2 \mu gL(1 + m/M)}$. (4)
Длиннее оказалось бы решение, основанное на непосредственном применении законов Ньютона. При таком решении прежде всего, определив ускорения тел, пришлось бы написать уравнения, выражающие зависимость от времени скоростей доски и бруска относительно земли. Это дало бы возможность найти момент времени, в который эти скорости окажутся одинаковыми. После этого, написав уравнения, выражающие зависимость положений доски $s_{1}$ и бруска $s_{2}$ от времени (рис. 2), можно найти то расстояние $s$, на которое переместится брусок относительно доски к моменту прекращения проскальзывания. Проделайте сами указанные выкладки и убедитесь, что они приводят к тому же самому результату (3).
На конце доски длины $L$ и массы $M$ находится маленький брусок массы $m$ (рис.). Доска может скользить без трения по горизонтальной плоскости. Коэффициент трения скольжения бруска о поверхность доски равен $\mu$. Какую горизонтальную скорость $v_{0}$ нужно толчком сообщить доске, чтобы она выскользнула из-под бруска?
Решение:
При сообщении доске горизонтальной скорости $v_{0}$ резким толчком или ударом брусок не получает начальной скорости относительно земли, так как действующая на него со стороны доски сила трения не может превосходить $\mu mg$ и за короткое время удара не может сообщить бруску заметного импульса. После толчка в системе отсчета, связанной с землей, брусок движется равноускоренно, а доска — равнозамедленно.
Если начальная скорость доски $v_{0}$ невелика, то может наступить такой момент, когда скорости доски и бруска примут одинаковое значение. В этот момент проскальзывание прекращается, дальше оба тела движутся равномерно с одинаковой скоростью v как одно тело, и доска, разумеется, уже не выскользнет из-под бруска. Если же начальная скорость доски достаточно велика, то скорости доски и бруска могут не успеть сравняться за то время, пока брусок проскользит вдоль всей доски. В этом случае доска выскользнет из-под бруска.
Обозначим расстояние, пройденное бруском по доске до момента превращения проскальзывания, через $s$. Очевидно, что при выполнении неравенства $s < L$ доска не выскальзывает из-под бруска. Если это неравенство не выполняется, то доска выскользнет из-под бруска.
Эта задача служит наглядным примером того, насколько проще и быстрее может приводить к ответу использование законов сохранения по сравнению с непосредственным применением законов динамики. Оказывается, что достаточно выписать два уравнения, соответствующих законам сохранения импульса и энергии, чтобы немедленно получить ответ.
Поскольку по условию между доской и плоскостью трение отсутствует, то направленный горизонтально полный импульс системы остается без изменения. Так как после прекращения проскальзывания оба тела движутся с одинаковой скоростью $v$, то
$Mv_{0} = (M + m)v$. (1)
Для применения закона сохранения энергии нужно прежде всего подсчитать работу сил трения, действующих между бруском и доской. Эти силы равны по модулю и противоположно направлены. Сила трения, действующая на брусок, разгоняет его, увеличивая его кинетическую энергию. Работа этой силы положительна. Сила трения, действующая на доску, тормозит ее; работа этой силы отрицательна. Очевидно, что относительно земли точка приложения силы трения, действующей на доску, совершает перемещение $s_{1}$, которое больше перемещения точки приложения второй силы трения $s_{2}$ на величину $s$ (рис. 2). Поэтому суммарная работа сил трения отрицательна и равна $- \mu mgs$.
Таким образом, уравнение закона сохранения энергии записывается в виде
$\frac{(m + M)v^{2}}{2} - \frac{Mv_{0}^{2}}{2} = - \mu mgs$. (2)
Выражая $v$ из уравнения (1) и подставляя в (2), находим
$s = \frac{1}{2} \frac{M}{m+M} \frac{v_{0}^{2}}{ \mu g}$. (3)
Если вычисленное по формуле (3) значение $s$ окажется больше $L$, то это и будет означать, что при такой начальной скорости доски $v_{0}$ она выскользнет из-под бруска. Отсюда находим необходимое для этого значение $v_{0}$:
$v_{0} > \sqrt{2 \mu gL(1 + m/M)}$. (4)
Длиннее оказалось бы решение, основанное на непосредственном применении законов Ньютона. При таком решении прежде всего, определив ускорения тел, пришлось бы написать уравнения, выражающие зависимость от времени скоростей доски и бруска относительно земли. Это дало бы возможность найти момент времени, в который эти скорости окажутся одинаковыми. После этого, написав уравнения, выражающие зависимость положений доски $s_{1}$ и бруска $s_{2}$ от времени (рис. 2), можно найти то расстояние $s$, на которое переместится брусок относительно доски к моменту прекращения проскальзывания. Проделайте сами указанные выкладки и убедитесь, что они приводят к тому же самому результату (3).
