2017-10-05
На очень длинной нити подвешен шарик массы $m_{1}$, к которому на нити длиной $l$ подвешен шарик массы $m_{2}$ (рис. 1). Какую начальную скорость $\vec{v}_{0}$ в горизонтальном направлении нужно сообщить нижнему шарику, чтобы соединяющая шарики нить отклонилась до горизонтального положения?
Решение:
Какое значение имеет то обстоятельство, что верхний шарик подвешен на очень длинной нити? Это значит, что он движется практически по горизонтальной прямой, а сама длинная нить остается вертикальной. Если это осознать, то дальнейшее решение не должно вызывать принципиальных затруднений. Все действующие на систему внешние силы - сила натяжения верхней нити и силы тяжести, действующие на шарики, — направлены по вертикали, поэтому горизонтальная составляющая полного импульса системы сохраняется. В тот момент, когда шарики окажутся на одинаковой высоте, горизонтальная составляющая $v_{г}$ скорости второго шарика. Это следует из нерастяжимости соединяющей их нити. Поэтому сохранение горизонтальной составляющей импульса системы можно записать в виде
$m_{2}v_{0} = (m_{1} + m_{2})v_{г}$. (1)
Обозначив вертикальную составляющую скорости нижнего шарика через $v_{в}$, запишем также уравнение закона сохранения механической энергии:
$\frac{m_{2}v_{0}^{2}}{2} = \frac{(m_{1} + m_{2})v_{г}^{2}}{2} + \frac{m_{2}v_{В}^{2}}{2} m_{2}gl$. (2)
Из уравнения (2) видно, что минимальное значение скорости $v_{0}$ соответствует случаю, когда вертикальная составляющая $v_{B}$ в интересующий нас момент обращается в нуль: $v_{В} = 0$. Подставляя в (2)
$v_{г} = v_{0}m_{2} / (m_{1} + m_{2})$
из (1), получаем
$v_{0min} = \sqrt{2gl(1 + m_{2}/m_{1})}$. (3)
Если нижний шарик гораздо легче верхнего, т. е. $m_{2} \ll m_{1}$, верхний шарик остается практически неподвижным. В этом предельном случае формула (3) дает правильное значение начальной скорости $v_{0min} = \sqrt{2gl}$, очевидное и из элементарных соображений. Если же $m_{1} \ll m_{2}$, то наличие легкого шарика $m_{1}$ практически никак не сказывается на движении нити с тяжелым шариком $m_{2}$ (система как бы «не замечает» присутствия легкого шарика). При этом соединяющая шарики нить займет горизонтальное положение лишь тогда, когда вся длинная нить отклонится до горизонтали, т.е. при $v_{0min} = \sqrt{2gL}$, где $L$ — суммарная длина обеих нитей. Ясно, что формула (3) в этом случае неприменима, так как она получена в предположении, что верхняя нить все время остается вертикальной.