Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4151
2017-10-05 
Подставка с лежащей на ней монетой движется поступательно в горизонтальной плоскости по окружности радиусом $r$ с угловой скоростью $\omega$. Коэффициент трения монеты о подставку равен $\mu$. Каким будет установившееся движение монеты?
Решение:
Из соображений симметрии ясно, что установившееся движение монеты происходит по окружности с той же угловой скоростью $\omega$. Действительно, в горизонтальной плоскости отсутствуют какие-либо физически выделенные направления. Поэтому, какими бы ни были начальные условия, при установившемся движении траектория монеты будет представлять собой окружность в инерциальной лабораторной системе отсчета. От начальных условий зависит только положение центра этой окружности. Любая другая мыслимая траектория таким свойством — отсутствием выделенных направлений — не обладает. Соображения симметрии позволяют сделать вывод, что и относительно подставки монета, если она проскальзывает, тоже движется по окружности. Теперь, когда мы представляем себе характер движения монеты в целом, остается только установить количественные соотношения между его характеристиками, в частности выразить радиусы окружностей, вычерчиваемых монетой в той и другой системах отсчета, через приведенные в условии данные.
В горизонтальной плоскости на монету действует только сила трения со стороны подставки. Рассмотрим сначала случай, когда монета движется вместе с подставкой. Так как при поступательном движении подставки все ее точки движутся по одинаковым окружностям радиуса $r$, то и монета движется по такой же окружности с ускорением $\omega^{2}r$, направленным к ее центру. Так как это ускорение сообщается монете силой трения покоя, которая не может превышать значения $\mu mg$, то установившееся движение монеты будет происходить вместе с подставкой при условии $\omega^{2} r \leq \mu g$, т.е. при $\omega^{2} r / \mu g \leq 1$.
При значениях этого безразмерного параметра $\omega^{2}r / \mu g > 1$ (т. е. при большей угловой скорости $\omega$, или большем радиусе $r$, или меньшем коэффициенте трения $\mu$) монета будет проскальзывать относительно подставки. В этом случае центростремительное ускорение монете сообщает сила трения скольжения, направленная в сторону, противоположную вектору $\vec{v}$ скорости монеты относительно подставки. При движении по окружности сила перпендикулярна скорости $\vec{V}$ монеты в инерциальной системе отсчета. Поэтому векторы $\vec{V}$ и $\vec{v}$ взаимно перпендикулярны. Скорость $\vec{V}$ монеты в лабораторной системе отсчета представляет собой векторную сумму скорости монеты v относительно подставки и скорости $\vec{u}$ той точки подставки, в которой в данный момент находится монета (хотя, разумеется, скорости всех точек подставки одинаковы при ее поступательном движении):
$\vec{V} = \vec{v} + \vec{u}$. (1)
Соотношение (1) графически проиллюстрировано на рис. 1, где учтена указанная ортогональность векторов $\vec{V}$ и $\vec{v}$. Из этого рисунка видно, что при проскальзывании монеты ее скорость $V$ в лабораторной системе всегда меньше скорости подставки $u = \omega r$. По условию вектор $\vec{u}$ поворачивается с угловой скоростью $\omega$, поэтому и весь треугольник скоростей на рис. 1 вращается как целое, так что взаимное расположение всех векторов остается неизменным. Это означает, что угол $\alpha$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ фактически характеризует отставание по фазе вектора $\vec{V}$ скорости монеты от вектора $\vec{u}$ скорости подставки.
Для определения радиуса $R$ круговой траектории монеты в лабораторной системе отсчета воспользуемся вторым законом Ньютона, т. е. приравняем силу трения скольжения $\mu mg$ произведению массы $m$ монеты на ускорение $\omega^{2} R : \mu g = \omega^{2} R$. Отсюда
$R = \mu g / \omega^{2}, \omega^{2}r/ \mu g \geq 1$. (2)
Интересно отметить, что при проскальзывании монеты радиус $R$ траектории движения монеты не зависит от радиуса $r$ окружностей, по которым движутся точки подставки. Однако радиус $R$, как видно из (2), не превосходит $r$ и становится равным ему только при предельном значении параметра $\omega^{2} r/ \mu g = 1$, когда проскальзывание прекращается.
Не представляет труда найти и радиус $\rho$ окружности, по которой монета движется относительно подставки. Все фигурирующие в формуле (1) скорости связаны с радиусами соответствующих окружностей соотношениями
$V = \omega R, v = \omega \rho, u = \omega r$. (3)
Поскольку треугольник скоростей на рис. 1 прямоугольный, то с помощью теоремы Пифагора и соотношений (3) получаем
$r^{2} = \rho^{2} + R^{2}$, откуда $\rho = \sqrt{r^{2} - R^{2}}$. (4)
Подставляя сюда найденное значение $R$ из (2), находим
$\rho = r \sqrt{1 - ( \mu g/ \omega^{2} r)^{2}}, \omega^{2} r / \mu g \geq 1$. (5)
Видно, что радиус $\rho$ следа, который монета вычерчивает на подставке, также меньше радиуса $r$ траектории движения подставки.
Соотношение между $\rho$ и $R$ может быть различным. При «быстром» движении, когда $\omega^{2} r/ \mu g \gg 1$, монета в инерциальной лабораторной системе отсчета практически стоит на месте ($R \ll r$), а подставка под ней описывает окружности радиуса $r$, так что $\rho \approx r$. При медленном движении подставки, когда $\omega^{2} r/ \mu g \geq 1$, монета почти не отстает от подставки, описывая в лабораторной системе отсчета окружности почти такого же радиуса ($R \approx r$), так что $\rho \approx 0$.
рис.2
На рис. 2 показаны траектория движения монеты в лабораторной системе отсчета (окружность радиуса $R$) и след, который монета вычерчивает на подставке (окружность радиуса $\rho$) для случая, когда $R > \rho$. Если монета в лабораторной системе отсчета движется по окружности против часовой стрелки, то относительно подставки ее движение происходит по часовой стрелке.
Представляет интерес рассмотреть фазовый сдвиг $\alpha$ между движением подставки и монеты в рассматриваемых предельных случаях быстрого и медленного движения подставки. Проделайте это самостоятельно, учитывая, что, как следует из рис. 1, $\cos \alpha = V / u = R/r$.
Подставка с лежащей на ней монетой движется поступательно в горизонтальной плоскости по окружности радиусом $r$ с угловой скоростью $\omega$. Коэффициент трения монеты о подставку равен $\mu$. Каким будет установившееся движение монеты?
Решение:
Из соображений симметрии ясно, что установившееся движение монеты происходит по окружности с той же угловой скоростью $\omega$. Действительно, в горизонтальной плоскости отсутствуют какие-либо физически выделенные направления. Поэтому, какими бы ни были начальные условия, при установившемся движении траектория монеты будет представлять собой окружность в инерциальной лабораторной системе отсчета. От начальных условий зависит только положение центра этой окружности. Любая другая мыслимая траектория таким свойством — отсутствием выделенных направлений — не обладает. Соображения симметрии позволяют сделать вывод, что и относительно подставки монета, если она проскальзывает, тоже движется по окружности. Теперь, когда мы представляем себе характер движения монеты в целом, остается только установить количественные соотношения между его характеристиками, в частности выразить радиусы окружностей, вычерчиваемых монетой в той и другой системах отсчета, через приведенные в условии данные.
В горизонтальной плоскости на монету действует только сила трения со стороны подставки. Рассмотрим сначала случай, когда монета движется вместе с подставкой. Так как при поступательном движении подставки все ее точки движутся по одинаковым окружностям радиуса $r$, то и монета движется по такой же окружности с ускорением $\omega^{2}r$, направленным к ее центру. Так как это ускорение сообщается монете силой трения покоя, которая не может превышать значения $\mu mg$, то установившееся движение монеты будет происходить вместе с подставкой при условии $\omega^{2} r \leq \mu g$, т.е. при $\omega^{2} r / \mu g \leq 1$.
При значениях этого безразмерного параметра $\omega^{2}r / \mu g > 1$ (т. е. при большей угловой скорости $\omega$, или большем радиусе $r$, или меньшем коэффициенте трения $\mu$) монета будет проскальзывать относительно подставки. В этом случае центростремительное ускорение монете сообщает сила трения скольжения, направленная в сторону, противоположную вектору $\vec{v}$ скорости монеты относительно подставки. При движении по окружности сила перпендикулярна скорости $\vec{V}$ монеты в инерциальной системе отсчета. Поэтому векторы $\vec{V}$ и $\vec{v}$ взаимно перпендикулярны. Скорость $\vec{V}$ монеты в лабораторной системе отсчета представляет собой векторную сумму скорости монеты v относительно подставки и скорости $\vec{u}$ той точки подставки, в которой в данный момент находится монета (хотя, разумеется, скорости всех точек подставки одинаковы при ее поступательном движении):
$\vec{V} = \vec{v} + \vec{u}$. (1)
Соотношение (1) графически проиллюстрировано на рис. 1, где учтена указанная ортогональность векторов $\vec{V}$ и $\vec{v}$. Из этого рисунка видно, что при проскальзывании монеты ее скорость $V$ в лабораторной системе всегда меньше скорости подставки $u = \omega r$. По условию вектор $\vec{u}$ поворачивается с угловой скоростью $\omega$, поэтому и весь треугольник скоростей на рис. 1 вращается как целое, так что взаимное расположение всех векторов остается неизменным. Это означает, что угол $\alpha$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ фактически характеризует отставание по фазе вектора $\vec{V}$ скорости монеты от вектора $\vec{u}$ скорости подставки.
Для определения радиуса $R$ круговой траектории монеты в лабораторной системе отсчета воспользуемся вторым законом Ньютона, т. е. приравняем силу трения скольжения $\mu mg$ произведению массы $m$ монеты на ускорение $\omega^{2} R : \mu g = \omega^{2} R$. Отсюда
$R = \mu g / \omega^{2}, \omega^{2}r/ \mu g \geq 1$. (2)
Интересно отметить, что при проскальзывании монеты радиус $R$ траектории движения монеты не зависит от радиуса $r$ окружностей, по которым движутся точки подставки. Однако радиус $R$, как видно из (2), не превосходит $r$ и становится равным ему только при предельном значении параметра $\omega^{2} r/ \mu g = 1$, когда проскальзывание прекращается.
Не представляет труда найти и радиус $\rho$ окружности, по которой монета движется относительно подставки. Все фигурирующие в формуле (1) скорости связаны с радиусами соответствующих окружностей соотношениями
$V = \omega R, v = \omega \rho, u = \omega r$. (3)
Поскольку треугольник скоростей на рис. 1 прямоугольный, то с помощью теоремы Пифагора и соотношений (3) получаем
$r^{2} = \rho^{2} + R^{2}$, откуда $\rho = \sqrt{r^{2} - R^{2}}$. (4)
Подставляя сюда найденное значение $R$ из (2), находим
$\rho = r \sqrt{1 - ( \mu g/ \omega^{2} r)^{2}}, \omega^{2} r / \mu g \geq 1$. (5)
Видно, что радиус $\rho$ следа, который монета вычерчивает на подставке, также меньше радиуса $r$ траектории движения подставки.
Соотношение между $\rho$ и $R$ может быть различным. При «быстром» движении, когда $\omega^{2} r/ \mu g \gg 1$, монета в инерциальной лабораторной системе отсчета практически стоит на месте ($R \ll r$), а подставка под ней описывает окружности радиуса $r$, так что $\rho \approx r$. При медленном движении подставки, когда $\omega^{2} r/ \mu g \geq 1$, монета почти не отстает от подставки, описывая в лабораторной системе отсчета окружности почти такого же радиуса ($R \approx r$), так что $\rho \approx 0$.
рис.2
На рис. 2 показаны траектория движения монеты в лабораторной системе отсчета (окружность радиуса $R$) и след, который монета вычерчивает на подставке (окружность радиуса $\rho$) для случая, когда $R > \rho$. Если монета в лабораторной системе отсчета движется по окружности против часовой стрелки, то относительно подставки ее движение происходит по часовой стрелке.
Представляет интерес рассмотреть фазовый сдвиг $\alpha$ между движением подставки и монеты в рассматриваемых предельных случаях быстрого и медленного движения подставки. Проделайте это самостоятельно, учитывая, что, как следует из рис. 1, $\cos \alpha = V / u = R/r$.
