Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4150
2017-10-05 
Тело сбрасывается в воду с некоторой высоты без начальной скорости; при этом измеряется глубина его погружения за одну секунду после вхождения в воду. Установлено, что если начальную высоту изменить в $k$ раз, то глубина погружения изменится в $l$ раз. При каких соотношениях между $k$ и $l$ тело тонет в воде? Сопротивлением воздуха и воды пренебречь.
Решение:
Любой физический процесс представляет собой сложное явление. Составляя условие задачи, мы фактически всегда упрощаем рассматриваемые явления, отбрасывая несущественные, а часто, к сожалению, и существенные стороны. Например, решая задачи о движении тела, брошенного под углом к горизонту, мы пренебрегали сопротивлением воздуха.
В рассматриваемой задаче предлагается пренебречь еще и сопротивлением воды. Если пренебрежение сопротивлением воздуха часто бывает оправданным (особенно при малых скоростях), то пренебрегать сопротивлением воды в этой задаче нельзя, так как получаемые при таком подходе результаты не имеют ничего общего с действительностью: бессмысленно было бы проверять полученный ответ на опыте. Действительно, мы не учитываем фонтан брызг, поднимаемых телом при ударе о воду; расходящуюся по поверхности волну; вязкость воды; не учитываем движение воды, вытесняемой телом.
И все же такие «нефнзические» задачи имеют право на существование: во-первых, благодаря своей четкой постановке (в условии указано, чем пренебречь) они позволяют научиться применять физические законы для количественного анализа искусственно упрощенных явлений; во-вторых, в некоторых случаях такое решение может послужить основой (нулевым приближением) для дальнейших уточнений.
Но вернемся к нашей «нефизической» задаче. Даже при таких упрощениях на первый взгляд не ясно, с чего начинать. Обратимся к вопросу, поставленному в задаче: при каком условии тело тонет в воде? Тело тонет, если его масса $m$ больше массы воды $m_{0}$ того же объема, что и тело. Таким образом, требуется выяснить, при каких условиях $m_{0}/m < 1$.
Движение тела в воде происходит под действием двух постоянных сил: силы тяжести $m \vec{g}$ и выталкивающей силы Архимеда $- m_{0} \vec{g}$, и, следовательно, будет равнопеременным с ускорением $\vec{a} = \vec{g} {1 - m_{0}/m)$. Поскольку скорость тела перед входом в воду $v_{0} = \sqrt{2gh}$, то перемещение тела в воде за время $t$
$s_{1} = \sqrt{2gh} t + \left ( 1 - \frac{m_{0}}{m} \right ) \frac{gt^{2}}{2}$.
Во втором случае, когда тело сброшено с высоты $kh$, перемещение тела в воде за то же время $t$
$s_{2} = \sqrt{2kgh} t + \left ( 1 - \frac{m_{0}}{m} \right ) \frac{gt^{2}}{2}$.
По условию задачи $s_{2}/s_{1} = l$, т. е.
$\frac{ \sqrt{2kgh} + (1 - m_{0}/m) gt/2}{ \sqrt{2gh} + (1 - m_{0}/m) gt/2} = l$. (1)
Обозначим для удобства $(1 - m_{0}/m)gt/2$ через $x$. Тело будет тонуть при $m_{0}/m < 1$, т. е. при $x > 0$. Запишем уравнение (1), используя введенное обозначение:
$\sqrt{2kgh} + x = l( \sqrt{2gh} + x)$. (2)
Выясним, при каком условии корень этого уравнения $x = \sqrt{2gh} ( \sqrt{k} - l)/(l - 1)$ положителен. Элементарным анализом можно убедиться, что при $k > 1$ значение $x$ положительно при $l < \sqrt{k}$, а при $k < 1$ значение $x > 0$ при $l > \sqrt{k}$.
Таким образом, полученный результат можно сформулировать следующим образом. Тело будет тонуть в воде, если при увеличении начальной высоты в $k$ раз глубина погружения за первую секунду увеличится менее чем в $\sqrt{k}$ раз. Если же глубина погружения за первую секунду возрастет более чем в $\sqrt{k}$ раз, то тело будет всплывать.
Подумаем теперь, как можно уточнить решение этой задачи, если отказаться от некоторых из сделанных выше упрощающих предположений. Оказывается, сравнительно просто можно учесть движение воды, вытесняемой телом.
Прежде всего отметим, что при равномерном движении тела в жидкости сопротивление, которое оказывает жидкость его движению, обусловлено силами вязкого трения. Однако при неравномерном движении картина будет существенно иная. Даже при движении в идеальной жидкости следует учитывать, что ускорение сообщается не только телу, но и частицам самой жидкости. Как это скажется на движении тела?
Чтобы покоившееся тело массы $m$ привести в движение со скоростью $v$, нужно совершить работу, равную $mv^{2}/2$. Из-за увлечения жидкости, окружающей тело, ее частицы приобретут скорости, пропорциональные скорости тела $v$. В результате увлеченная телом жидкость будет обладать кинетической энергией, пропорциональной $v^{2}$, для сообщения которой потребуется дополнительная работа. Поэтому работа по приведению в движение погруженного в жидкость тела пропорциональна $v^{2}$, но больше $mv^{2}/2$. Записывая эту работу в виде
$A = Mv^{2}/2$,
где $M > m$, приходим к выводу, что при погружении тела в жидкость оно будет двигаться под действием внешних сил так, как будто его масса увеличилась. Дополнительная, так называемая присоединенная масса характеризует инертные свойства окружающей жидкости. Значение присоединенной массы зависит от плотности жидкости и формы тела.
Посмотрим, что изменится в решении задачи при учете присоединенной массы. Очевидно, что ускорение тела при его движении в жидкости под действием силы тяжести $m \vec{g}$ и выталкивающей силы $- m_{0} \vec{g}$ будет равно $\vec{a}^{ \prime} = \vec{g} (m - m_{0})/M$. Именно на эту величину заменится ускорение $a = g(1 - m_{0}/m)$ в выражениях для $s_{1}$ и $s_{2}$ и в уравнении (1). Если теперь через $x$ обозначить $g(m - m_{0})t/2M$, то уравнение (2) будет иметь прежний вид. Так как тело тонет при $m > m_{0}$, то из уравнения (2), как и раньше, нужно найти условия, при которых $x > 0$.
Таким образом, учет присоединенной массы не изменяет ответа в этой задаче.
Тело сбрасывается в воду с некоторой высоты без начальной скорости; при этом измеряется глубина его погружения за одну секунду после вхождения в воду. Установлено, что если начальную высоту изменить в $k$ раз, то глубина погружения изменится в $l$ раз. При каких соотношениях между $k$ и $l$ тело тонет в воде? Сопротивлением воздуха и воды пренебречь.
Решение:
Любой физический процесс представляет собой сложное явление. Составляя условие задачи, мы фактически всегда упрощаем рассматриваемые явления, отбрасывая несущественные, а часто, к сожалению, и существенные стороны. Например, решая задачи о движении тела, брошенного под углом к горизонту, мы пренебрегали сопротивлением воздуха.
В рассматриваемой задаче предлагается пренебречь еще и сопротивлением воды. Если пренебрежение сопротивлением воздуха часто бывает оправданным (особенно при малых скоростях), то пренебрегать сопротивлением воды в этой задаче нельзя, так как получаемые при таком подходе результаты не имеют ничего общего с действительностью: бессмысленно было бы проверять полученный ответ на опыте. Действительно, мы не учитываем фонтан брызг, поднимаемых телом при ударе о воду; расходящуюся по поверхности волну; вязкость воды; не учитываем движение воды, вытесняемой телом.
И все же такие «нефнзические» задачи имеют право на существование: во-первых, благодаря своей четкой постановке (в условии указано, чем пренебречь) они позволяют научиться применять физические законы для количественного анализа искусственно упрощенных явлений; во-вторых, в некоторых случаях такое решение может послужить основой (нулевым приближением) для дальнейших уточнений.
Но вернемся к нашей «нефизической» задаче. Даже при таких упрощениях на первый взгляд не ясно, с чего начинать. Обратимся к вопросу, поставленному в задаче: при каком условии тело тонет в воде? Тело тонет, если его масса $m$ больше массы воды $m_{0}$ того же объема, что и тело. Таким образом, требуется выяснить, при каких условиях $m_{0}/m < 1$.
Движение тела в воде происходит под действием двух постоянных сил: силы тяжести $m \vec{g}$ и выталкивающей силы Архимеда $- m_{0} \vec{g}$, и, следовательно, будет равнопеременным с ускорением $\vec{a} = \vec{g} {1 - m_{0}/m)$. Поскольку скорость тела перед входом в воду $v_{0} = \sqrt{2gh}$, то перемещение тела в воде за время $t$
$s_{1} = \sqrt{2gh} t + \left ( 1 - \frac{m_{0}}{m} \right ) \frac{gt^{2}}{2}$.
Во втором случае, когда тело сброшено с высоты $kh$, перемещение тела в воде за то же время $t$
$s_{2} = \sqrt{2kgh} t + \left ( 1 - \frac{m_{0}}{m} \right ) \frac{gt^{2}}{2}$.
По условию задачи $s_{2}/s_{1} = l$, т. е.
$\frac{ \sqrt{2kgh} + (1 - m_{0}/m) gt/2}{ \sqrt{2gh} + (1 - m_{0}/m) gt/2} = l$. (1)
Обозначим для удобства $(1 - m_{0}/m)gt/2$ через $x$. Тело будет тонуть при $m_{0}/m < 1$, т. е. при $x > 0$. Запишем уравнение (1), используя введенное обозначение:
$\sqrt{2kgh} + x = l( \sqrt{2gh} + x)$. (2)
Выясним, при каком условии корень этого уравнения $x = \sqrt{2gh} ( \sqrt{k} - l)/(l - 1)$ положителен. Элементарным анализом можно убедиться, что при $k > 1$ значение $x$ положительно при $l < \sqrt{k}$, а при $k < 1$ значение $x > 0$ при $l > \sqrt{k}$.
Таким образом, полученный результат можно сформулировать следующим образом. Тело будет тонуть в воде, если при увеличении начальной высоты в $k$ раз глубина погружения за первую секунду увеличится менее чем в $\sqrt{k}$ раз. Если же глубина погружения за первую секунду возрастет более чем в $\sqrt{k}$ раз, то тело будет всплывать.
Подумаем теперь, как можно уточнить решение этой задачи, если отказаться от некоторых из сделанных выше упрощающих предположений. Оказывается, сравнительно просто можно учесть движение воды, вытесняемой телом.
Прежде всего отметим, что при равномерном движении тела в жидкости сопротивление, которое оказывает жидкость его движению, обусловлено силами вязкого трения. Однако при неравномерном движении картина будет существенно иная. Даже при движении в идеальной жидкости следует учитывать, что ускорение сообщается не только телу, но и частицам самой жидкости. Как это скажется на движении тела?
Чтобы покоившееся тело массы $m$ привести в движение со скоростью $v$, нужно совершить работу, равную $mv^{2}/2$. Из-за увлечения жидкости, окружающей тело, ее частицы приобретут скорости, пропорциональные скорости тела $v$. В результате увлеченная телом жидкость будет обладать кинетической энергией, пропорциональной $v^{2}$, для сообщения которой потребуется дополнительная работа. Поэтому работа по приведению в движение погруженного в жидкость тела пропорциональна $v^{2}$, но больше $mv^{2}/2$. Записывая эту работу в виде
$A = Mv^{2}/2$,
где $M > m$, приходим к выводу, что при погружении тела в жидкость оно будет двигаться под действием внешних сил так, как будто его масса увеличилась. Дополнительная, так называемая присоединенная масса характеризует инертные свойства окружающей жидкости. Значение присоединенной массы зависит от плотности жидкости и формы тела.
Посмотрим, что изменится в решении задачи при учете присоединенной массы. Очевидно, что ускорение тела при его движении в жидкости под действием силы тяжести $m \vec{g}$ и выталкивающей силы $- m_{0} \vec{g}$ будет равно $\vec{a}^{ \prime} = \vec{g} (m - m_{0})/M$. Именно на эту величину заменится ускорение $a = g(1 - m_{0}/m)$ в выражениях для $s_{1}$ и $s_{2}$ и в уравнении (1). Если теперь через $x$ обозначить $g(m - m_{0})t/2M$, то уравнение (2) будет иметь прежний вид. Так как тело тонет при $m > m_{0}$, то из уравнения (2), как и раньше, нужно найти условия, при которых $x > 0$.
Таким образом, учет присоединенной массы не изменяет ответа в этой задаче.
