Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4149
2017-10-05 
«Мокрое» колесо равномерно вращается в вертикальной плоскости вокруг неподвижной оси. С обода срываются капли. Найти границу «сухой» области.
Решение:
рис.1
Движение оторвавшихся капель происходит под действием силы тяжести, которая всем каплям сообщает одинаковое ускорение $g$. Это позволяет сначала отвлечься от наличия тяготения. Рассмотрим движение капель, оторвавшихся от обода колеса в один и тот же момент. В отсутствие ускорения свободного падения капли движутся по прямым линиям. В любой момент времени $t$ все капли лежат на окружности радиуса $r$ (рис. 1), для которого с помощью теоремы Пифагора можно написать
$r^{2} (t) = R^{2} + (v_{0} t)^{2}$, (1)
где $R$ — радиус колеса, $v_{0}$ — скорость точек обода.
Радиус окружности $r$ увеличивается с течением времени, а при наличии тяготения вся эта окружность еще и «падает» с ускорением свободного падения $g$. Если начало координат выбрано в центре колеса, то в любой момент времени $t$ ордината центра окружности равна $-gt^{2}/2$.
Уравнение «падающей» окружности в этой системе координат имеет вид
$x^{2} + (y + gt^{2}/2)^{2} = r^{2}(t)$. (2)
рис.2
рис.3
Уравнение (2) есть уравнение целого семейства окружностей: придавая $t$ разные значения, получаем окружности, на которых находятся капли в различные моменты времени. Легко сообразить, что искомая граница есть огибающая этого семейства окружностей (рис. 2). Ясно, что высшая точка этой границы лежит точно над осью колеса. Другими словами, уравнение (2) определяет всю «мокрую» область (рис. 3), и для решения задачи нам нужно найти границу заштрихованной области.
Будем искать эту границу следующим образом. Заметим, что капли, оторвавшиеся от колеса в один и тот же момент времени, достигают границы в разные моменты времени: граница касается разных окружностей. Проведя горизонтальную прямую на некотором уровне Y, найдем на ней наиболее удаленную от оси у «мокрую» точку, не задумываясь о том, какой окружности она принадлежит. Абсциссу X точки пересечения любой окружности с этой прямой можно найти, подставив в уравнение окружности (2) ординату $y=Y$ и радиус $r$ из уравнения (1):
$X^{2} = R^{2} + v_{0}^{2}t^{2} - (Y + gt^{2}/2)^{2}$. (3)
Легко видеть, что правая часть (3) есть квадратный трехчлен относительно $t^{2}$:
$X^{2} = - g^{2}t^{4}/4 + (v_{0}^{2} - gY)t^{2} + R^{2} - Y^{2}$.
Его максимальное значение
$X^{2} = R^{2} + \frac{v_{0}^{2}}{g^{2}} - \frac{2v_{0}^{2}}{g} Y$. (4)
Разрешая (4) относительно Y, получаем уравнение границы «сухой» области:
$Y = - \frac{g}{2v_{0}^{2}} X^{2} + \frac{gR^{2}}{2v_{0}^{2}} + \frac{v_{0}^{2}}{2g}$. (5)
Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, а вершина находится на оси у на высоте $gR^{2}/2v_{0}^{2} + v_{0}^{2} / 2g$.
рис.4
рис.5
Граница была найдена как огибающая семейства окружностей, на которых находились капли, оторвавшиеся в один и тот же момент времени. Между тем траектория каждой отдельной капли представляет собой параболу, и поэтому найденная граница (5) является огибающей этих парабол (рис. 4).
Интересно отметить, что задачи 4147 и 4148 являются частными случаями этой задачи. Действительно, в задаче 4148 фактически требовалось найти лишь верхнюю точку границы «мокрой» области: при $X = 0$
$Y = h_{max} = \frac{gR^{2}}{2v_{0}^{2}} + \frac{v_{0}^{2}}{2g}$.
Задача 4147 получается из этой задачи, если устремить к нулю радиус колеса $R$ при неизменной скорости $v_{0}$. Уравнение границы достижимых целей получается из (5), если в последнем положить $R = 0$:
$Y = - \frac{g}{2v_{0}^{2}} X^{2} + \frac{v_{0}^{2}}{2g}$.
При решении этой задачи мы молчаливо предполагали, что искомая граница проходит вне колеса. Как и в предыдущей задаче, легко убедиться, что это справедливо при условии $v_{0}^{2} > gR$. В противном случае ($v_{0}^{2} \leq gR$) граница «мокрой» области в своей верхней части проходит по ободу колеса (дуга окружности), а затем плавно переходит в ветви параболы (рис. 5).
«Мокрое» колесо равномерно вращается в вертикальной плоскости вокруг неподвижной оси. С обода срываются капли. Найти границу «сухой» области.
Решение:
рис.1
Движение оторвавшихся капель происходит под действием силы тяжести, которая всем каплям сообщает одинаковое ускорение $g$. Это позволяет сначала отвлечься от наличия тяготения. Рассмотрим движение капель, оторвавшихся от обода колеса в один и тот же момент. В отсутствие ускорения свободного падения капли движутся по прямым линиям. В любой момент времени $t$ все капли лежат на окружности радиуса $r$ (рис. 1), для которого с помощью теоремы Пифагора можно написать
$r^{2} (t) = R^{2} + (v_{0} t)^{2}$, (1)
где $R$ — радиус колеса, $v_{0}$ — скорость точек обода.
Радиус окружности $r$ увеличивается с течением времени, а при наличии тяготения вся эта окружность еще и «падает» с ускорением свободного падения $g$. Если начало координат выбрано в центре колеса, то в любой момент времени $t$ ордината центра окружности равна $-gt^{2}/2$.
Уравнение «падающей» окружности в этой системе координат имеет вид
$x^{2} + (y + gt^{2}/2)^{2} = r^{2}(t)$. (2)
рис.2
рис.3
Уравнение (2) есть уравнение целого семейства окружностей: придавая $t$ разные значения, получаем окружности, на которых находятся капли в различные моменты времени. Легко сообразить, что искомая граница есть огибающая этого семейства окружностей (рис. 2). Ясно, что высшая точка этой границы лежит точно над осью колеса. Другими словами, уравнение (2) определяет всю «мокрую» область (рис. 3), и для решения задачи нам нужно найти границу заштрихованной области.
Будем искать эту границу следующим образом. Заметим, что капли, оторвавшиеся от колеса в один и тот же момент времени, достигают границы в разные моменты времени: граница касается разных окружностей. Проведя горизонтальную прямую на некотором уровне Y, найдем на ней наиболее удаленную от оси у «мокрую» точку, не задумываясь о том, какой окружности она принадлежит. Абсциссу X точки пересечения любой окружности с этой прямой можно найти, подставив в уравнение окружности (2) ординату $y=Y$ и радиус $r$ из уравнения (1):
$X^{2} = R^{2} + v_{0}^{2}t^{2} - (Y + gt^{2}/2)^{2}$. (3)
Легко видеть, что правая часть (3) есть квадратный трехчлен относительно $t^{2}$:
$X^{2} = - g^{2}t^{4}/4 + (v_{0}^{2} - gY)t^{2} + R^{2} - Y^{2}$.
Его максимальное значение
$X^{2} = R^{2} + \frac{v_{0}^{2}}{g^{2}} - \frac{2v_{0}^{2}}{g} Y$. (4)
Разрешая (4) относительно Y, получаем уравнение границы «сухой» области:
$Y = - \frac{g}{2v_{0}^{2}} X^{2} + \frac{gR^{2}}{2v_{0}^{2}} + \frac{v_{0}^{2}}{2g}$. (5)
Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, а вершина находится на оси у на высоте $gR^{2}/2v_{0}^{2} + v_{0}^{2} / 2g$.
рис.4
рис.5
Граница была найдена как огибающая семейства окружностей, на которых находились капли, оторвавшиеся в один и тот же момент времени. Между тем траектория каждой отдельной капли представляет собой параболу, и поэтому найденная граница (5) является огибающей этих парабол (рис. 4).
Интересно отметить, что задачи 4147 и 4148 являются частными случаями этой задачи. Действительно, в задаче 4148 фактически требовалось найти лишь верхнюю точку границы «мокрой» области: при $X = 0$
$Y = h_{max} = \frac{gR^{2}}{2v_{0}^{2}} + \frac{v_{0}^{2}}{2g}$.
Задача 4147 получается из этой задачи, если устремить к нулю радиус колеса $R$ при неизменной скорости $v_{0}$. Уравнение границы достижимых целей получается из (5), если в последнем положить $R = 0$:
$Y = - \frac{g}{2v_{0}^{2}} X^{2} + \frac{v_{0}^{2}}{2g}$.
При решении этой задачи мы молчаливо предполагали, что искомая граница проходит вне колеса. Как и в предыдущей задаче, легко убедиться, что это справедливо при условии $v_{0}^{2} > gR$. В противном случае ($v_{0}^{2} \leq gR$) граница «мокрой» области в своей верхней части проходит по ободу колеса (дуга окружности), а затем плавно переходит в ветви параболы (рис. 5).
