Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4148
2017-10-05 
Телега равномерно катится по горизонтальной мокрой дороге. На какую максимальную высоту поднимаются капли воды, срывающиеся с обода колеса?
Решение:
Самая существенная особенность заключается, пожалуй, в том, что для ее решения нельзя поместить начало координат в исходную точку траектории капли, так как отрыв капель происходит в разных точках обода колеса. Совместим поэтому начало координат с центром колеса, т. е. будем рассматривать движение капель в системе отсчета, связанной с телегой, движущейся равномерно и прямолинейно относительно земли. Очевидно, что максимальная высота подъема капель по вертикали не зависит от того, рассматривать их движение в системе отсчета, связанной с землей, или в системе отсчета, связанной с равномерно движущейся по горизонтали телегой. Если скорость телеги равна $v_{0}$ и колеса не пробуксовывают, то в выбранной системе отсчета скорость любой точки обода также равна $v_{0}$. (Докажите последнее утверждение сами — это совсем просто.) Положение любой из точек, в которых происходит отрыв капли от обода, однозначно определяется углом $\phi$ (рис. 1).
Текущие координаты капли, оторвавшейся от обода колеса в точке, характеризуемой углом $\phi$, определяются соотношениями
$x(t) = - R \cos \phi + v_{0} \sin \phi t$, (1)
$y(t) = R \sin \phi + v_{0} \cos \phi t - gt^{2}/2$. (2)
Для нахождения максимальной высоты подъема капли $y_{max}$ нужно подставить в уравнение (2) время подъема капли $t_{1}$, которое проще всего найти следующим образом. В наивысшей точке траектории вертикальная составляющая скорости $v_{y}$ обращается в нуль: $v_{y} = v_{0} \cos \phi - gt_{1} = 0$, откуда
$t_{1} = \frac{v_{0}}{g} \cos \phi$. (3)
Тогда максимальная высота подъема капли, оторвавшейся от обода в рассматриваемой точке,
$y_{max} = - \frac{v_{0}^{2}}{2g} \sin^{2} \phi + R \sin \phi + \frac{v_{0}^{2}}{2g}$. (4)
(В этой формуле $\cos \phi$ выражен через $\sin \phi$.)
Из (4) видно, что максимальная высота подъема зависит от угла $\phi$, т. е. от того, в какой точке произошел отрыв капли. В какой же точке должна оторваться капля, чтобы подняться выше всех остальных? Выражение (4) для максимальной высоты подъема представляет собой квадратный трехчлен относительно $\sin \phi$ и принимает свое наибольшее значение
$h_{max} = \frac{gR^{2}}{2v_{0}^{2}} + \frac{v_{0}^{2}}{2g}$ (5)
при $\sin \phi = gR/v_{0}^{2}$. Конечно, этот результат имеет смысл, если $gR \leq v_{0}^{2}$, т. е. если телега катится достаточно быстро. В противном случае, как нетрудно убедиться, ни одна из отрывающихся капель не поднимается выше верхней точки обода. Докажите это самостоятельно.
С помощью соотношения (I) легко увидеть, что найденная точка наивысшего подъема лежит точно над осью колеса: подставляя (3) в (1) и учитывая, что $\sin \phi = gR / v_{0}^{2}$, получаем $x=0$.
Ответ на поставленный в задаче вопрос — формула (5) для наибольшей высоты подъема отрывающихся капель —-получен путем исследования на максимум квадратного трехчлена (4) относительно $\sin \phi$. Этот результат можно получить и иначе. Будем рассуждать следующим образом. Зафиксируем некоторое значение $y_{max}$ и решим уравнение (4) относительно $\sin \phi$:
$\sin \phi_{1,2} = \frac{gR}{v_{0}^{2}} \pm \sqrt{ \left ( \frac{gR}{v_{0}^{2}} \right )^{2} + 1 - \frac{2gy_{max}}{v_{0}^{2}} }$. (6)
Здесь углы $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$ определяют те точки обода, отрываясь от которых капли достигают заданной максимальной высоты. Если вещественных корней нет, то заданного значения $y_{max}$ не достигает ни одна капля. Если есть два различных вещественных корня $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$, то заданная высота является максимальной для двух капель. Это отчетливо видно из рис. 4 задачи 4149 про «мокрое» колесо. Наибольшей высоты из всех капель, как видно из того же рисунка, достигает только одна капля. Следовательно, эту наибольшую высоту $h_{max}$ можно найти, потребовав, чтобы оба корня уравнения (6) сливались в один: приравнивая дискриминант нулю, получаем ответ — формулу (5).
В рассматриваемой задаче можно сразу получить соотношение (4) для наибольшей высоты подъема капель, если применить закон сохранения механической энергии. Полагая потенциальную энергию капли на уровне оси колеса равной нулю, для полной энергии капли в точке отрыва имеем
$E_{1} = mgR \sin \phi + \frac{mv_{0}^{2}}{2}$.
В высшей точке траектории вертикальная составляющая скорости обращается в нуль. Поскольку горизонтальная составляющая скорости не меняется, энергия в высшей точке
$E_{2} = mgy_{max} + \frac{m(v_{0} \sin \phi)^{2}}{2}$.
Приравнивая $E_{1}$ и $E_{2}$, получаем формулу (4). Как видите, во многих задачах не вредно подумать о том, нельзя ли упростить решение, используя законы сохранения.
Телега равномерно катится по горизонтальной мокрой дороге. На какую максимальную высоту поднимаются капли воды, срывающиеся с обода колеса?
Решение:
Самая существенная особенность заключается, пожалуй, в том, что для ее решения нельзя поместить начало координат в исходную точку траектории капли, так как отрыв капель происходит в разных точках обода колеса. Совместим поэтому начало координат с центром колеса, т. е. будем рассматривать движение капель в системе отсчета, связанной с телегой, движущейся равномерно и прямолинейно относительно земли. Очевидно, что максимальная высота подъема капель по вертикали не зависит от того, рассматривать их движение в системе отсчета, связанной с землей, или в системе отсчета, связанной с равномерно движущейся по горизонтали телегой. Если скорость телеги равна $v_{0}$ и колеса не пробуксовывают, то в выбранной системе отсчета скорость любой точки обода также равна $v_{0}$. (Докажите последнее утверждение сами — это совсем просто.) Положение любой из точек, в которых происходит отрыв капли от обода, однозначно определяется углом $\phi$ (рис. 1).
Текущие координаты капли, оторвавшейся от обода колеса в точке, характеризуемой углом $\phi$, определяются соотношениями
$x(t) = - R \cos \phi + v_{0} \sin \phi t$, (1)
$y(t) = R \sin \phi + v_{0} \cos \phi t - gt^{2}/2$. (2)
Для нахождения максимальной высоты подъема капли $y_{max}$ нужно подставить в уравнение (2) время подъема капли $t_{1}$, которое проще всего найти следующим образом. В наивысшей точке траектории вертикальная составляющая скорости $v_{y}$ обращается в нуль: $v_{y} = v_{0} \cos \phi - gt_{1} = 0$, откуда
$t_{1} = \frac{v_{0}}{g} \cos \phi$. (3)
Тогда максимальная высота подъема капли, оторвавшейся от обода в рассматриваемой точке,
$y_{max} = - \frac{v_{0}^{2}}{2g} \sin^{2} \phi + R \sin \phi + \frac{v_{0}^{2}}{2g}$. (4)
(В этой формуле $\cos \phi$ выражен через $\sin \phi$.)
Из (4) видно, что максимальная высота подъема зависит от угла $\phi$, т. е. от того, в какой точке произошел отрыв капли. В какой же точке должна оторваться капля, чтобы подняться выше всех остальных? Выражение (4) для максимальной высоты подъема представляет собой квадратный трехчлен относительно $\sin \phi$ и принимает свое наибольшее значение
$h_{max} = \frac{gR^{2}}{2v_{0}^{2}} + \frac{v_{0}^{2}}{2g}$ (5)
при $\sin \phi = gR/v_{0}^{2}$. Конечно, этот результат имеет смысл, если $gR \leq v_{0}^{2}$, т. е. если телега катится достаточно быстро. В противном случае, как нетрудно убедиться, ни одна из отрывающихся капель не поднимается выше верхней точки обода. Докажите это самостоятельно.
С помощью соотношения (I) легко увидеть, что найденная точка наивысшего подъема лежит точно над осью колеса: подставляя (3) в (1) и учитывая, что $\sin \phi = gR / v_{0}^{2}$, получаем $x=0$.
Ответ на поставленный в задаче вопрос — формула (5) для наибольшей высоты подъема отрывающихся капель —-получен путем исследования на максимум квадратного трехчлена (4) относительно $\sin \phi$. Этот результат можно получить и иначе. Будем рассуждать следующим образом. Зафиксируем некоторое значение $y_{max}$ и решим уравнение (4) относительно $\sin \phi$:
$\sin \phi_{1,2} = \frac{gR}{v_{0}^{2}} \pm \sqrt{ \left ( \frac{gR}{v_{0}^{2}} \right )^{2} + 1 - \frac{2gy_{max}}{v_{0}^{2}} }$. (6)
Здесь углы $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$ определяют те точки обода, отрываясь от которых капли достигают заданной максимальной высоты. Если вещественных корней нет, то заданного значения $y_{max}$ не достигает ни одна капля. Если есть два различных вещественных корня $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$, то заданная высота является максимальной для двух капель. Это отчетливо видно из рис. 4 задачи 4149 про «мокрое» колесо. Наибольшей высоты из всех капель, как видно из того же рисунка, достигает только одна капля. Следовательно, эту наибольшую высоту $h_{max}$ можно найти, потребовав, чтобы оба корня уравнения (6) сливались в один: приравнивая дискриминант нулю, получаем ответ — формулу (5).
В рассматриваемой задаче можно сразу получить соотношение (4) для наибольшей высоты подъема капель, если применить закон сохранения механической энергии. Полагая потенциальную энергию капли на уровне оси колеса равной нулю, для полной энергии капли в точке отрыва имеем
$E_{1} = mgR \sin \phi + \frac{mv_{0}^{2}}{2}$.
В высшей точке траектории вертикальная составляющая скорости обращается в нуль. Поскольку горизонтальная составляющая скорости не меняется, энергия в высшей точке
$E_{2} = mgy_{max} + \frac{m(v_{0} \sin \phi)^{2}}{2}$.
Приравнивая $E_{1}$ и $E_{2}$, получаем формулу (4). Как видите, во многих задачах не вредно подумать о том, нельзя ли упростить решение, используя законы сохранения.
