Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4146
2017-10-05 
Между целью и минометом, находящимися на одной горизонтали, расположена стена высотой $h$. Расстояние от миномета до стены равно $a$, а от стены до цели $b$. Определить минимальную начальную скорость мины, необходимую для поражения цели. Под каким углом при этом следует стрелять? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Попробуем разобраться в этой задаче, не выписывая пока никаких формул. Рассмотрим все траектории, проходящие через цель, забыв на время о существовании стены. На рис. выделена траектория, соответствующая наименьшему значению начальной скорости мины. Напомним, что этой траектории соответствует угол $\alpha = 45^{ \circ}$. Нетрудно убедиться, что начальные скорости, соответствующие другим траекториям, монотонно возрастают при удалении этих траекторий от выделенной как вверх, так и вниз. Поэтому если стена окажется ниже выделенной траектории, то решение тривиально: именно эта траектория и удовлетворяет поставленным условиям. Если стена окажется выше, то искомая траектория проходит через верхний край стены. Вот и все.
Теперь остается только записать эти рассуждения на математическом языке, т. е. получить выражения для вычисления начальной скорости $v_{0}$ и угла $\alpha$ в каждом из этих случаев.
Прежде всего получим общее уравнение траектории, проходящих через цель. Как мы уже знаем, уравнение траекторий, выходящих из начала координат, имеет вид
$y = x tg \alpha - \frac{gx^{2}}{2v_{0}^{2}} (1 + tg^{2} \alpha)$. (1)
Потребуем, чтобы эти траектории проходили через цель. Для этого положим в (1) $y = 0$ при $x = a + b$:
$0 = (a + b) tg \alpha - \frac{g(a + b)^{2}}{2v_{0}^{2}} (1 + tg^{2} \alpha)$. (2)
Выражая из (2) начальную скорость $v_{0}$ и подставляя в (1), получим уравнение траекторий, проходящих через цель:
$y = x \left ( 1 - \frac{x}{a + b} \right ) tg \alpha$. (3)
Придавая $\alpha$ разные значения в пределах от 0 до $\pi /2$, получаем все траектории, изображенные на рис. Выделенная траектория получается при $tg \alpha = 1 ( \alpha = \pi /4)$:
$y = x \left ( 1 - \frac{x}{ a + b} \right )$. (4)
Выясним теперь, при каком условии эта траектория проходит над стеной. Для этого найдем высоту $h_{1}$ точки траектории при $x = a$:
$h_{1} = a \left ( 1 - \frac{a}{ a + b} \right ) = \frac{ab}{a + b}$.
Таким образом, если высота стены $h$ меньше, чем $h_{1}$, то искомая траектория определяется выражением (4), а соответствующая ей начальная скорость $v_{0}$ легко находится из уравнения (2) при $tg \alpha = 1$:
$v_{0 min} = \sqrt{g (a + b)}$.
Это есть обычное соотношение между начальной скоростью и максимальной дальностью полета по горизонтали.
Определим теперь искомую траекторию, если степа выше выделенной траектории: $h > h_{1}$. Как уже отмечалось, в этом случае нужно найти траекторию, проходящую через верхний край стены, т. е. положить в (3) $y = h$ при $x = a$:
$h = a \left ( 1 - \frac{a}{a + b} \right ) g \alpha_{1}$,
откуда $tg \alpha_{1} = h (a + b)/ab$. Уравнение искомой траектории получим, подставив найденное значение $tg \alpha_{1}$ в формулу (3):
$y = x \left ( 1 - \frac{x}{a + b} \right ) \frac{a+b}{ab} h$.
Отметим, что для ответа на поставленные в задаче вопросы это уравнение нам не требуется, но оно дает возможность проследить, через какие точки мина летит к цели. Для нахождения соответствующей этой траектории начальной скорости нужно подставить полученное значение $tg \alpha_{1}$ в уравнение (2):
$v_{0min}^{2} = \frac{gab}{2h} \left ( 1 + \left ( h \frac{a+b}{ab} \right )^{2} \right ) $.
Итак, резюмируя изложенное, сформулируем ответ: если $h \leq ab/(a + b)$, то
$\alpha = \pi /4, v_{0}^{2} = g(a + b)$;
если $h \geq ab/(a + b)$, то
$\alpha = arctg \left ( h \frac{a+b}{ab} \right ), v_{0}^{2} = \frac{gab}{2h} \left ( 1 + \left ( h \frac{a+b}{ab} \right )^{2} \right )$.
Полезно и в этой задаче рассмотреть предельные случаи. Не будем останавливаться на относительно малоинтересных случаях, как, например, $a=b$ (стена посредине между минометом и целью).
Бессмысленно полагать $a = 0$ или $b = 0$ при $h \neq 0$, но, несомненно, представляет интерес случай, когда $a$ и $b$ одновременно стремятся к нулю (при $h \neq 0$). В этом предельном случае требуется просто перебросить мину через стену. Ответ в этом случае очевиден: стрелять нужно вертикально вверх ($\alpha = \pi /2$), а начальная скорость $v_{0} = \sqrt{2gh}$. Покажем, как получить этот результат из ответа к задаче. Здесь, конечно, нужно обращаться к случаю $h \geq ab/(a + b)$. Полагая $a = b$ и одновременно устремляя их к нулю, получим $\alpha \rightarrow \pi /2$ и
$v_{0}^{2} = \frac{g}{2h} \left ( ab + h^{2} \frac{(a+b)^{2}}{ab} \right ) = \frac{g}{2h} (a^{2} - 4h^{2}) \rightarrow 2gh$.
Между целью и минометом, находящимися на одной горизонтали, расположена стена высотой $h$. Расстояние от миномета до стены равно $a$, а от стены до цели $b$. Определить минимальную начальную скорость мины, необходимую для поражения цели. Под каким углом при этом следует стрелять? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Попробуем разобраться в этой задаче, не выписывая пока никаких формул. Рассмотрим все траектории, проходящие через цель, забыв на время о существовании стены. На рис. выделена траектория, соответствующая наименьшему значению начальной скорости мины. Напомним, что этой траектории соответствует угол $\alpha = 45^{ \circ}$. Нетрудно убедиться, что начальные скорости, соответствующие другим траекториям, монотонно возрастают при удалении этих траекторий от выделенной как вверх, так и вниз. Поэтому если стена окажется ниже выделенной траектории, то решение тривиально: именно эта траектория и удовлетворяет поставленным условиям. Если стена окажется выше, то искомая траектория проходит через верхний край стены. Вот и все.
Теперь остается только записать эти рассуждения на математическом языке, т. е. получить выражения для вычисления начальной скорости $v_{0}$ и угла $\alpha$ в каждом из этих случаев.
Прежде всего получим общее уравнение траектории, проходящих через цель. Как мы уже знаем, уравнение траекторий, выходящих из начала координат, имеет вид
$y = x tg \alpha - \frac{gx^{2}}{2v_{0}^{2}} (1 + tg^{2} \alpha)$. (1)
Потребуем, чтобы эти траектории проходили через цель. Для этого положим в (1) $y = 0$ при $x = a + b$:
$0 = (a + b) tg \alpha - \frac{g(a + b)^{2}}{2v_{0}^{2}} (1 + tg^{2} \alpha)$. (2)
Выражая из (2) начальную скорость $v_{0}$ и подставляя в (1), получим уравнение траекторий, проходящих через цель:
$y = x \left ( 1 - \frac{x}{a + b} \right ) tg \alpha$. (3)
Придавая $\alpha$ разные значения в пределах от 0 до $\pi /2$, получаем все траектории, изображенные на рис. Выделенная траектория получается при $tg \alpha = 1 ( \alpha = \pi /4)$:
$y = x \left ( 1 - \frac{x}{ a + b} \right )$. (4)
Выясним теперь, при каком условии эта траектория проходит над стеной. Для этого найдем высоту $h_{1}$ точки траектории при $x = a$:
$h_{1} = a \left ( 1 - \frac{a}{ a + b} \right ) = \frac{ab}{a + b}$.
Таким образом, если высота стены $h$ меньше, чем $h_{1}$, то искомая траектория определяется выражением (4), а соответствующая ей начальная скорость $v_{0}$ легко находится из уравнения (2) при $tg \alpha = 1$:
$v_{0 min} = \sqrt{g (a + b)}$.
Это есть обычное соотношение между начальной скоростью и максимальной дальностью полета по горизонтали.
Определим теперь искомую траекторию, если степа выше выделенной траектории: $h > h_{1}$. Как уже отмечалось, в этом случае нужно найти траекторию, проходящую через верхний край стены, т. е. положить в (3) $y = h$ при $x = a$:
$h = a \left ( 1 - \frac{a}{a + b} \right ) g \alpha_{1}$,
откуда $tg \alpha_{1} = h (a + b)/ab$. Уравнение искомой траектории получим, подставив найденное значение $tg \alpha_{1}$ в формулу (3):
$y = x \left ( 1 - \frac{x}{a + b} \right ) \frac{a+b}{ab} h$.
Отметим, что для ответа на поставленные в задаче вопросы это уравнение нам не требуется, но оно дает возможность проследить, через какие точки мина летит к цели. Для нахождения соответствующей этой траектории начальной скорости нужно подставить полученное значение $tg \alpha_{1}$ в уравнение (2):
$v_{0min}^{2} = \frac{gab}{2h} \left ( 1 + \left ( h \frac{a+b}{ab} \right )^{2} \right ) $.
Итак, резюмируя изложенное, сформулируем ответ: если $h \leq ab/(a + b)$, то
$\alpha = \pi /4, v_{0}^{2} = g(a + b)$;
если $h \geq ab/(a + b)$, то
$\alpha = arctg \left ( h \frac{a+b}{ab} \right ), v_{0}^{2} = \frac{gab}{2h} \left ( 1 + \left ( h \frac{a+b}{ab} \right )^{2} \right )$.
Полезно и в этой задаче рассмотреть предельные случаи. Не будем останавливаться на относительно малоинтересных случаях, как, например, $a=b$ (стена посредине между минометом и целью).
Бессмысленно полагать $a = 0$ или $b = 0$ при $h \neq 0$, но, несомненно, представляет интерес случай, когда $a$ и $b$ одновременно стремятся к нулю (при $h \neq 0$). В этом предельном случае требуется просто перебросить мину через стену. Ответ в этом случае очевиден: стрелять нужно вертикально вверх ($\alpha = \pi /2$), а начальная скорость $v_{0} = \sqrt{2gh}$. Покажем, как получить этот результат из ответа к задаче. Здесь, конечно, нужно обращаться к случаю $h \geq ab/(a + b)$. Полагая $a = b$ и одновременно устремляя их к нулю, получим $\alpha \rightarrow \pi /2$ и
$v_{0}^{2} = \frac{g}{2h} \left ( ab + h^{2} \frac{(a+b)^{2}}{ab} \right ) = \frac{g}{2h} (a^{2} - 4h^{2}) \rightarrow 2gh$.
