Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4145
2017-10-05 
Необходимо с поверхности земли попасть камнем в цель, которая расположена на высоте $h$ и на расстоянии $s$ по горизонтали. При какой наименьшей начальной скорости камня это возможно? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
На первый взгляд кажется, что начальная скорость камня будет наименьшей, если верхняя точка его траектории совпадает с мишенью (рис. а).
Может быть, и вам так показалось? Иллюзия эта настолько сильна, что подобное решение аналогичной задачи можно встретить в некоторых солидных пособиях по решению физических задач. Однако, даже не решая задачи, легко убедиться, что это не так. Действительно, будем мысленно уменьшать высоту, на которой расположена цель. При этом точка, куда попадает камень, продолжает согласно предположению оставаться верхней точкой траектории (рис. б), в том числе и в предельном случае $h=0$. Но совершенно очевидно, что для того чтобы попасть в цель, находящуюся на земле, достаточно просто добросить камень до цели (рис. б). Итак, предположение о том, что цель совпадает с высшей точкой траектории полета камня, неверно.
Ошибочность этого предположения становится еще более очевидной, если заметить, что требуемая при этом начальная скорость должна возрастать по мере того, как $h \rightarrow 0$.
Приведенный анализ представляет собой пример проверки решения задачи предельным переходом к более простому случаю, когда ответ либо очевиден, либо может быть легко найден.
Из приведенного качественного анализа можно сделать заключение, что цель всегда должна находиться на нисходящей ветви траектории (рис. в). Еще раз напомним, что мы ищем траекторию с минимальной начальной скоростью.
Приступим к решению задачи.
Пусть камень брошен под углом $\alpha$ к горизонту и попал в цель. Его перемещения по горизонтали $s$ и по вертикали $h$ могут быть записаны следующим образом:
$s = v_{0} \cos \alpha t, h = v_{0} \sin \alpha t - gt^{2}/2$.
Поскольку время полета камня $t$ нас не интересует, исключим его из этих уравнений. Выражая $t$ из первого уравнения и подставляя во второе, получаем
$h = s tg \alpha - \frac{gs^{2}}{2v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha}$. (1)
Это уравнение содержит две неизвестные величины $v_{0}$ и $\alpha$ и имеет поэтому бесчисленное множество решений, что соответствует возможности попасть в цель бесконечным числом способов. Из этих решений нам нужно выбрать то, которое соответствует минимальному значению $v_{0}$.
Прямой путь решения этой задачи состоит в нахождении $v_{0}$ как функции от $\alpha$ из уравнения (1) и исследовании этой функции на экстремум, что требует, однако, применения высшей математики. Поэтому поступим иначе. Решим уравнение (1) относительно $\alpha$. Используя известное соотношение $1/ \cos^{2} \alpha = 1 + tg^{2} \alpha$, замечаем, что из (1) получается квадратное уравнение относительно $tg \alpha$:
$gs^{2} tg^{2} \alpha - 2 v_{0}^{2} s tg \alpha + gs^{2} + 2v_{0}^{2} h = 0$. (2)
Решив его, получим
$tg \alpha = \frac{1}{gs} ( v_{0}^{2} \pm \sqrt{ v_{0}^{4} - g( gs^{2} + 2v_{0}^{2}h)})$.
Казалось бы, ничего хорошего не получается — громоздкое выражение. А на самом деле мы в двух шагах от ответа на вопрос задачи. Действительно, для $tg \alpha$ физический смысл имеют только вещественные решения, и поэтому дискриминант должен быть неотрицательным:
$v_{0}^{2} - 2ghv_{0}^{2} - g^{2}s^{2} \geq 0$.
Легко убедиться, что минимальное значение $v_{0}^{2}$, при котором это соотношение справедливо, соответствует случаю равенства; таким образом,
$v_{0min}^{2} = g ( h + \sqrt{h^{2} + s^{2}})$.
(Второй корень $v_{0 min}^{2} = g (h - \sqrt{h^{2} + s^{2}})$) не имеет физического смысла, так как квадрат скорости есть величина положительная.) Итак, полученный нами ответ имеет вид
$v_{omin} = \sqrt{g(h + \sqrt{h^{2} + s^{2}})}$. (3)
Проанализируем теперь решение несколько подробнее. Возвратимся к квадратному уравнению для $tg \alpha$. При положительном дискриминанте оно имеет два решения, т. е. при заданном значении $v_{0}$ камень может попасть в цель по двум различным траекториям. При отрицательном дискриминанте решений нет, т. е. ни при каком значении угла $\alpha$ камень не попадет в цель при заданной скорости. При равном нулю дискриминанте имеется только одно решение (единственная траектория полета камня до цели). Именно в этом случае, как мы выяснили, начальная скорость будет минимальной, а выражение для $tg \alpha$ имеет особенно простой вид:
$tg \alpha = \frac{v_{0min}^{2}}{gs} = \frac{h + \sqrt{h^{2} + s^{2}}}{s}$. (4)
Проверим правильность полученного результата предельными переходами.
1. Если $h = 0$, то $tg \alpha = 1$, т.е. камень нужно бросить под углом $\pi /4$. Хорошо известно, что это соответствует максимальной дальности полета по горизонтали при заданной начальной скорости, а при заданной дальности — минимальной начальной скорости. Этот случай уже обсуждался вначале.
2. Если $s \rightarrow 0$, то $tg \alpha \rightarrow \infty$, а $\alpha \rightarrow \pi /2$. Действительно, камень следует бросать вертикально вверх, и только в этом случае положение цели совпадает с наивысшей точкой траектории.
Итак, мы решили поставленную задачу, потребовав, чтобы корни квадратного уравнения (2) для $tg \alpha$ имели физический смысл, т. е. были вещественными.
Рассмотрим теперь несколько иной способ рассуждений, приводящий, естественно, к тому же результату. Прежде всего отметим одно очевидное обстоятельство: при заданном расстоянии $s$ чем выше расположена цель, тем больше должна быть минимальная начальная скорость камня. Поэтому, вместо того чтобы искать минимум $v_{0}$ при заданном $h$, можно искать максимум $h$ при заданном $v_{0}$.
Предположим, что $v_{0}$ задано. Тогда, выразив $h$ из (2):
$h = - \frac{gs^{2}}{2v_{0}^{2}} tg^{2} \alpha + s tg \alpha - \frac{gs^{2}}{2v_{0}^{2}}$,
легко исследовать получившийся квадратный трехчлен относительно $tg \alpha$ на максимум. (Напомним, что максимум квадратного трехчлена $y = ax^{2} + bx + c (a < 0)$ имеет место при $x = - b/2a$ и равен $c - b^{2}/4a$.) Максимальное значение $h$ достигается при $tg \alpha = v_{0}^{2} / gs$ и равно
$h = \frac{v_{0}^{2}}{2g} - \frac{gs^{2}}{2v_{0}^{2}}$. (5)
Из (5) находим минимальное значение начальной скорости $v_{0}$ при заданной высоте цели $h$, совпадающее с полученным ранее.
Необходимо с поверхности земли попасть камнем в цель, которая расположена на высоте $h$ и на расстоянии $s$ по горизонтали. При какой наименьшей начальной скорости камня это возможно? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
На первый взгляд кажется, что начальная скорость камня будет наименьшей, если верхняя точка его траектории совпадает с мишенью (рис. а).
Может быть, и вам так показалось? Иллюзия эта настолько сильна, что подобное решение аналогичной задачи можно встретить в некоторых солидных пособиях по решению физических задач. Однако, даже не решая задачи, легко убедиться, что это не так. Действительно, будем мысленно уменьшать высоту, на которой расположена цель. При этом точка, куда попадает камень, продолжает согласно предположению оставаться верхней точкой траектории (рис. б), в том числе и в предельном случае $h=0$. Но совершенно очевидно, что для того чтобы попасть в цель, находящуюся на земле, достаточно просто добросить камень до цели (рис. б). Итак, предположение о том, что цель совпадает с высшей точкой траектории полета камня, неверно.
Ошибочность этого предположения становится еще более очевидной, если заметить, что требуемая при этом начальная скорость должна возрастать по мере того, как $h \rightarrow 0$.
Приведенный анализ представляет собой пример проверки решения задачи предельным переходом к более простому случаю, когда ответ либо очевиден, либо может быть легко найден.
Из приведенного качественного анализа можно сделать заключение, что цель всегда должна находиться на нисходящей ветви траектории (рис. в). Еще раз напомним, что мы ищем траекторию с минимальной начальной скоростью.
Приступим к решению задачи.
Пусть камень брошен под углом $\alpha$ к горизонту и попал в цель. Его перемещения по горизонтали $s$ и по вертикали $h$ могут быть записаны следующим образом:
$s = v_{0} \cos \alpha t, h = v_{0} \sin \alpha t - gt^{2}/2$.
Поскольку время полета камня $t$ нас не интересует, исключим его из этих уравнений. Выражая $t$ из первого уравнения и подставляя во второе, получаем
$h = s tg \alpha - \frac{gs^{2}}{2v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha}$. (1)
Это уравнение содержит две неизвестные величины $v_{0}$ и $\alpha$ и имеет поэтому бесчисленное множество решений, что соответствует возможности попасть в цель бесконечным числом способов. Из этих решений нам нужно выбрать то, которое соответствует минимальному значению $v_{0}$.
Прямой путь решения этой задачи состоит в нахождении $v_{0}$ как функции от $\alpha$ из уравнения (1) и исследовании этой функции на экстремум, что требует, однако, применения высшей математики. Поэтому поступим иначе. Решим уравнение (1) относительно $\alpha$. Используя известное соотношение $1/ \cos^{2} \alpha = 1 + tg^{2} \alpha$, замечаем, что из (1) получается квадратное уравнение относительно $tg \alpha$:
$gs^{2} tg^{2} \alpha - 2 v_{0}^{2} s tg \alpha + gs^{2} + 2v_{0}^{2} h = 0$. (2)
Решив его, получим
$tg \alpha = \frac{1}{gs} ( v_{0}^{2} \pm \sqrt{ v_{0}^{4} - g( gs^{2} + 2v_{0}^{2}h)})$.
Казалось бы, ничего хорошего не получается — громоздкое выражение. А на самом деле мы в двух шагах от ответа на вопрос задачи. Действительно, для $tg \alpha$ физический смысл имеют только вещественные решения, и поэтому дискриминант должен быть неотрицательным:
$v_{0}^{2} - 2ghv_{0}^{2} - g^{2}s^{2} \geq 0$.
Легко убедиться, что минимальное значение $v_{0}^{2}$, при котором это соотношение справедливо, соответствует случаю равенства; таким образом,
$v_{0min}^{2} = g ( h + \sqrt{h^{2} + s^{2}})$.
(Второй корень $v_{0 min}^{2} = g (h - \sqrt{h^{2} + s^{2}})$) не имеет физического смысла, так как квадрат скорости есть величина положительная.) Итак, полученный нами ответ имеет вид
$v_{omin} = \sqrt{g(h + \sqrt{h^{2} + s^{2}})}$. (3)
Проанализируем теперь решение несколько подробнее. Возвратимся к квадратному уравнению для $tg \alpha$. При положительном дискриминанте оно имеет два решения, т. е. при заданном значении $v_{0}$ камень может попасть в цель по двум различным траекториям. При отрицательном дискриминанте решений нет, т. е. ни при каком значении угла $\alpha$ камень не попадет в цель при заданной скорости. При равном нулю дискриминанте имеется только одно решение (единственная траектория полета камня до цели). Именно в этом случае, как мы выяснили, начальная скорость будет минимальной, а выражение для $tg \alpha$ имеет особенно простой вид:
$tg \alpha = \frac{v_{0min}^{2}}{gs} = \frac{h + \sqrt{h^{2} + s^{2}}}{s}$. (4)
Проверим правильность полученного результата предельными переходами.
1. Если $h = 0$, то $tg \alpha = 1$, т.е. камень нужно бросить под углом $\pi /4$. Хорошо известно, что это соответствует максимальной дальности полета по горизонтали при заданной начальной скорости, а при заданной дальности — минимальной начальной скорости. Этот случай уже обсуждался вначале.
2. Если $s \rightarrow 0$, то $tg \alpha \rightarrow \infty$, а $\alpha \rightarrow \pi /2$. Действительно, камень следует бросать вертикально вверх, и только в этом случае положение цели совпадает с наивысшей точкой траектории.
Итак, мы решили поставленную задачу, потребовав, чтобы корни квадратного уравнения (2) для $tg \alpha$ имели физический смысл, т. е. были вещественными.
Рассмотрим теперь несколько иной способ рассуждений, приводящий, естественно, к тому же результату. Прежде всего отметим одно очевидное обстоятельство: при заданном расстоянии $s$ чем выше расположена цель, тем больше должна быть минимальная начальная скорость камня. Поэтому, вместо того чтобы искать минимум $v_{0}$ при заданном $h$, можно искать максимум $h$ при заданном $v_{0}$.
Предположим, что $v_{0}$ задано. Тогда, выразив $h$ из (2):
$h = - \frac{gs^{2}}{2v_{0}^{2}} tg^{2} \alpha + s tg \alpha - \frac{gs^{2}}{2v_{0}^{2}}$,
легко исследовать получившийся квадратный трехчлен относительно $tg \alpha$ на максимум. (Напомним, что максимум квадратного трехчлена $y = ax^{2} + bx + c (a < 0)$ имеет место при $x = - b/2a$ и равен $c - b^{2}/4a$.) Максимальное значение $h$ достигается при $tg \alpha = v_{0}^{2} / gs$ и равно
$h = \frac{v_{0}^{2}}{2g} - \frac{gs^{2}}{2v_{0}^{2}}$. (5)
Из (5) находим минимальное значение начальной скорости $v_{0}$ при заданной высоте цели $h$, совпадающее с полученным ранее.
