Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4144
2017-10-05 
Заброшенный в кольцо баскетбольный мяч начинает отвесно падать из корзины без начальной скорости. В тот же момент из точки, находящейся на расстоянии $l$ от кольца, в падающий мяч бросают теннисный мяч (рис.). С какой начальной скоростью был брошен теннисный мяч, если мячи столкнулись на расстоянии $h$ oт кольца?
Решение:
В поставленном вопросе подразумевается, что нужно найти вектор начальной скорости теннисного мяча, т. е. его направление (угол $\alpha$) и модуль ($v_{0}$). Если решать задачу в исходной (лабораторной) системе отсчета, то ход рассуждений может быть следующим. Записываем выражения для перемещений обоих мячей за время $t$ от начала движения до их встречи, затем проецируем их на вертикальное и горизонтальное направления (рис. 2). В результате приходим к системе уравнений
$h = \frac{gt^{2}}{2}, H - h =v_{0} \sin \alpha \cdot t - \frac{gt^{2}}{2}$, (1)
$\sqrt{l^{2} - H^{2}} = v_{0} \cos \alpha \cdot t$.
Здесь $H$ — высота кольца над точкой бросания теннисного мяча, а $\sqrt{l^{2} - H^{2}}$ представляет собой расстояние до кольца по горизонтали (рис. 2).
В системе трех уравнений (1) четыре неизвестных величины: $v_{0}, \alpha, t$ и $H$. Поэтому может показаться, что задача не имеет единственного решения. Однако это не так. Действительно, подставляя $h$ из первого уравнения со второе, получаем
$H = v_{0} \sin \alpha \cdot t$. (2)
Разделив почленно это уравнение на третье уравнение системы (1), находим выражение для $tg \alpha$:
$tg \alpha = H/ \sqrt{l^{2} - H^{2}}$. (3)
рис.2
рис.3
Теперь с помощью рис. 2 можно увидеть, что угол $\alpha$, под которым должна быть направлена начальная скорость теннисного мяча, в действительности соответствует направлению из точки бросания на кольцо. Истинное направление начальной скорости $v_{0}$ показано на рис. 3. Итак, бросать теннисный мяч нужно точно в направлении кольца. Модуль его начальной скорости можно найти, подставляя $t = \sqrt{2h/g}$ из первого уравнения системы (1) в уравнение (2). Учитывая, что $H/ \sin \alpha = l$, получаем
$v_{0} = l/t = l \sqrt{g2h}$. (4)
Но всех этих преобразований можно избежать, если с самого начала перейти в систему отсчета, связанную с баскетбольным мячом, т. е. свободно падающую с ускорением $\vec{g}$. В этой системе отсчета баскетбольный мяч, естественно, неподвижен, а теннисный движется равномерно и прямолинейно со скоростью $\vec{v}_{0}$. Очевидно, что эта скорость $\vec{v}_{0}$ должна быть направлена на баскетбольный мяч. Через время $t= l / v_{0}$ мячи столкнутся. В лабораторной системе отсчета за это время баскетбольный мяч опустится на расстояние
$h = \frac{gt^{2}}{2} = \frac{g}{2} \left ( \frac{l}{v_{0}} \right )^{2}$, (5)
откуда для $v_{0}$ получаем прежнее выражение (4). На примере этой задачи мы видим, что в некоторых случаях удобным оказывается переход в ускоренно движущуюся систему отсчета.
Заброшенный в кольцо баскетбольный мяч начинает отвесно падать из корзины без начальной скорости. В тот же момент из точки, находящейся на расстоянии $l$ от кольца, в падающий мяч бросают теннисный мяч (рис.). С какой начальной скоростью был брошен теннисный мяч, если мячи столкнулись на расстоянии $h$ oт кольца?
Решение:
В поставленном вопросе подразумевается, что нужно найти вектор начальной скорости теннисного мяча, т. е. его направление (угол $\alpha$) и модуль ($v_{0}$). Если решать задачу в исходной (лабораторной) системе отсчета, то ход рассуждений может быть следующим. Записываем выражения для перемещений обоих мячей за время $t$ от начала движения до их встречи, затем проецируем их на вертикальное и горизонтальное направления (рис. 2). В результате приходим к системе уравнений
$h = \frac{gt^{2}}{2}, H - h =v_{0} \sin \alpha \cdot t - \frac{gt^{2}}{2}$, (1)
$\sqrt{l^{2} - H^{2}} = v_{0} \cos \alpha \cdot t$.
Здесь $H$ — высота кольца над точкой бросания теннисного мяча, а $\sqrt{l^{2} - H^{2}}$ представляет собой расстояние до кольца по горизонтали (рис. 2).
В системе трех уравнений (1) четыре неизвестных величины: $v_{0}, \alpha, t$ и $H$. Поэтому может показаться, что задача не имеет единственного решения. Однако это не так. Действительно, подставляя $h$ из первого уравнения со второе, получаем
$H = v_{0} \sin \alpha \cdot t$. (2)
Разделив почленно это уравнение на третье уравнение системы (1), находим выражение для $tg \alpha$:
$tg \alpha = H/ \sqrt{l^{2} - H^{2}}$. (3)
рис.2
рис.3
Теперь с помощью рис. 2 можно увидеть, что угол $\alpha$, под которым должна быть направлена начальная скорость теннисного мяча, в действительности соответствует направлению из точки бросания на кольцо. Истинное направление начальной скорости $v_{0}$ показано на рис. 3. Итак, бросать теннисный мяч нужно точно в направлении кольца. Модуль его начальной скорости можно найти, подставляя $t = \sqrt{2h/g}$ из первого уравнения системы (1) в уравнение (2). Учитывая, что $H/ \sin \alpha = l$, получаем
$v_{0} = l/t = l \sqrt{g2h}$. (4)
Но всех этих преобразований можно избежать, если с самого начала перейти в систему отсчета, связанную с баскетбольным мячом, т. е. свободно падающую с ускорением $\vec{g}$. В этой системе отсчета баскетбольный мяч, естественно, неподвижен, а теннисный движется равномерно и прямолинейно со скоростью $\vec{v}_{0}$. Очевидно, что эта скорость $\vec{v}_{0}$ должна быть направлена на баскетбольный мяч. Через время $t= l / v_{0}$ мячи столкнутся. В лабораторной системе отсчета за это время баскетбольный мяч опустится на расстояние
$h = \frac{gt^{2}}{2} = \frac{g}{2} \left ( \frac{l}{v_{0}} \right )^{2}$, (5)
откуда для $v_{0}$ получаем прежнее выражение (4). На примере этой задачи мы видим, что в некоторых случаях удобным оказывается переход в ускоренно движущуюся систему отсчета.
