Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4141
2017-10-01 
На концах трубки со сжатой пружиной удерживаются нитью одинаковые шарики с массой $m$ (см. рисунок). При разрыве нити шарики разлетаются со скоростью $u$. Определите скорости $v_{1}$ и $v_{2}$ разлетающихся шариков, если в момент «выстрела» трубка поступательно движется в направлении своей оси со скоростью $v > u$. Определите также суммарный импульс $p$ разлетающихся шариков. Не противоречит ли полученный результат закону сохранения импульса? Скорости $v, u$ считать релятивистскими.
Решение:
Для определения скоростей $v_{1}$ и $v_{2}$ проще всего воспользоваться релятивистским правилом сложения скоростей:
$v_{1} = \frac{v + u}{1 + vu/c^{2}}, v_{2} = \frac{v - u}{1 - vu/c^{2}}$.
Суммарный импульс разлетающихся шариков
$p = \frac{mv_{1}}{ \sqrt{1 - v_{1}^{2}/c^{2}}} + \frac{mv_{2}}{ \sqrt{1 - v_{2}^{2}/c^{2}}} = \frac{2mv}{ \sqrt{(1 - v^{2}/c^{2})(1 - u^{2}/c^{2})}}$.
До выстрела суммарный импульс шариков был меньше:
$p_{0} = \frac{2mv}{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}$.
Однако следует учесть, что сжатая пружина обладала потенциальной энергией, которая при выстреле перешла в кинетическую энергию шариков:
$W = 2mc^{2} \left ( \frac{1}{ \sqrt{1 - u^{2}/ c^{2}}} - 1 \right )$.
Это энергия пружины в той системе отсчета, в которой пружина неподвижна, т. е. добавка к ее энергии покоя. Энергии $W$ соответствует добавка $m_{1} = \frac{W}{c^{2}}$ к массе покоя. При движении со скоростью $v$ этой добавке к массе соответствует импульс
$p_{1} = \frac{m_{1}v}{ \sqrt{ 1 - v^{2}/c^{2}}} = \frac{2mv}{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}} \left ( \frac{1}{ \sqrt{1 - u^{2}/c^{2}}} - 1 \right )$.
После выстрела импульс $p_{1}$ передается шарикам. Как и следовало ожидать, $p_{0} + p_{1} = p$ в полном соответствии с законом сохранения импульса. Отметим, что масса покоя системы до распада больше суммарной массы покоя образовавшихся при распаде «осколков» (для ядерной физики это обычная ситуация).
Ответ: $v_{1} = \frac{v + u}{1 + vu/c^{2}}, v_{2} = \frac{v - u}{1 - vu / c^{2}}, p = \frac{2mv}{ \sqrt{(1 - v^{2}/c^{2})(1 - u^{2}/c^{2})}}$
На концах трубки со сжатой пружиной удерживаются нитью одинаковые шарики с массой $m$ (см. рисунок). При разрыве нити шарики разлетаются со скоростью $u$. Определите скорости $v_{1}$ и $v_{2}$ разлетающихся шариков, если в момент «выстрела» трубка поступательно движется в направлении своей оси со скоростью $v > u$. Определите также суммарный импульс $p$ разлетающихся шариков. Не противоречит ли полученный результат закону сохранения импульса? Скорости $v, u$ считать релятивистскими.
Решение:
Для определения скоростей $v_{1}$ и $v_{2}$ проще всего воспользоваться релятивистским правилом сложения скоростей:
$v_{1} = \frac{v + u}{1 + vu/c^{2}}, v_{2} = \frac{v - u}{1 - vu/c^{2}}$.
Суммарный импульс разлетающихся шариков
$p = \frac{mv_{1}}{ \sqrt{1 - v_{1}^{2}/c^{2}}} + \frac{mv_{2}}{ \sqrt{1 - v_{2}^{2}/c^{2}}} = \frac{2mv}{ \sqrt{(1 - v^{2}/c^{2})(1 - u^{2}/c^{2})}}$.
До выстрела суммарный импульс шариков был меньше:
$p_{0} = \frac{2mv}{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}$.
Однако следует учесть, что сжатая пружина обладала потенциальной энергией, которая при выстреле перешла в кинетическую энергию шариков:
$W = 2mc^{2} \left ( \frac{1}{ \sqrt{1 - u^{2}/ c^{2}}} - 1 \right )$.
Это энергия пружины в той системе отсчета, в которой пружина неподвижна, т. е. добавка к ее энергии покоя. Энергии $W$ соответствует добавка $m_{1} = \frac{W}{c^{2}}$ к массе покоя. При движении со скоростью $v$ этой добавке к массе соответствует импульс
$p_{1} = \frac{m_{1}v}{ \sqrt{ 1 - v^{2}/c^{2}}} = \frac{2mv}{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}} \left ( \frac{1}{ \sqrt{1 - u^{2}/c^{2}}} - 1 \right )$.
После выстрела импульс $p_{1}$ передается шарикам. Как и следовало ожидать, $p_{0} + p_{1} = p$ в полном соответствии с законом сохранения импульса. Отметим, что масса покоя системы до распада больше суммарной массы покоя образовавшихся при распаде «осколков» (для ядерной физики это обычная ситуация).
Ответ: $v_{1} = \frac{v + u}{1 + vu/c^{2}}, v_{2} = \frac{v - u}{1 - vu / c^{2}}, p = \frac{2mv}{ \sqrt{(1 - v^{2}/c^{2})(1 - u^{2}/c^{2})}}$
