Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4117
2017-09-30 
Принцип Ферма. Свет идет из точки А в точку В, преломляясь на плоской границе раздела двух сред (см. рисунок). Докажите, что время прохождения света из точки А в точку В минимально как раз в том случае, когда свет «подчиняется» закону преломления.
Решение:
Пусть $v_{1}$ и $v_{2}$ - скорости света соответственно в первой и второй средах; $\alpha$ и $\beta$ — углы падения и преломления луча. Минимальное время достигается при прохождении света по некоторой ломаной: при $v_{1} \neq v_{2}$ «выгодно» уменьшить длину траектории в оптически более плотной среде за счет удлинения той части траектории, которая проходит в оптически менее плотной среде. Выразим время $t$ прохождения света из точки А в точку В через длину х отрезка $A_{1}C$ (см. рисунок):
$t = \frac{AC}{v_{1}} + \frac{BC}{v_{2}} = \frac{ \sqrt{h_{1}^{2} + x^{2}}}{v_{1}} + \frac{ \sqrt{ h_{2}^{2} + (d -x)^{2}}}{v_{2}}$.
Производная этой функции $t^{ \prime} = \frac{x}{v_{1} \sqrt{h_{1}^{2} + x^{2}}} - \frac{d-x}{ v_{2} \sqrt{h_{2}^{2} + (d-x)^{2}}}$.
Воспользовавшись тем, что
$\frac{x}{ \sqrt{ h_{1}^{2} + x^{2}}} = \sin \alpha, \frac{d-x}{ \sqrt{ h_{2}^{2} + (d-x)^{2}}} = \sin \beta$,
получим $t^{ \prime} = \frac{ \sin \alpha}{v_{1}} - \frac{ \sin \beta}{v_{2}}$. Эта производная обращается в нуль, когда $\frac{ \sin \alpha}{ \in \beta} = \frac{v_{1}}{v_{2}}$, т.е. как раз при выполнении закона преломления. Для точек, лежащих левее точки преломления, $t^{ \prime} < 0$; для точек, лежащих правее, $t^{ \prime} > 0$. Значит, функция $t(x)$ принимает на истинной траектории минимальное значение. Таким образом, свет «выбирает» траекторию, прохождение которой требует наименьшего времени (принцип Ферма). Этот принцип распространяется и на отражение света (ср. с задачей 4117). Он является общим принципом геометрической оптики.
Принцип Ферма. Свет идет из точки А в точку В, преломляясь на плоской границе раздела двух сред (см. рисунок). Докажите, что время прохождения света из точки А в точку В минимально как раз в том случае, когда свет «подчиняется» закону преломления.
Решение:
Пусть $v_{1}$ и $v_{2}$ - скорости света соответственно в первой и второй средах; $\alpha$ и $\beta$ — углы падения и преломления луча. Минимальное время достигается при прохождении света по некоторой ломаной: при $v_{1} \neq v_{2}$ «выгодно» уменьшить длину траектории в оптически более плотной среде за счет удлинения той части траектории, которая проходит в оптически менее плотной среде. Выразим время $t$ прохождения света из точки А в точку В через длину х отрезка $A_{1}C$ (см. рисунок):
$t = \frac{AC}{v_{1}} + \frac{BC}{v_{2}} = \frac{ \sqrt{h_{1}^{2} + x^{2}}}{v_{1}} + \frac{ \sqrt{ h_{2}^{2} + (d -x)^{2}}}{v_{2}}$.
Производная этой функции $t^{ \prime} = \frac{x}{v_{1} \sqrt{h_{1}^{2} + x^{2}}} - \frac{d-x}{ v_{2} \sqrt{h_{2}^{2} + (d-x)^{2}}}$.
Воспользовавшись тем, что
$\frac{x}{ \sqrt{ h_{1}^{2} + x^{2}}} = \sin \alpha, \frac{d-x}{ \sqrt{ h_{2}^{2} + (d-x)^{2}}} = \sin \beta$,
получим $t^{ \prime} = \frac{ \sin \alpha}{v_{1}} - \frac{ \sin \beta}{v_{2}}$. Эта производная обращается в нуль, когда $\frac{ \sin \alpha}{ \in \beta} = \frac{v_{1}}{v_{2}}$, т.е. как раз при выполнении закона преломления. Для точек, лежащих левее точки преломления, $t^{ \prime} < 0$; для точек, лежащих правее, $t^{ \prime} > 0$. Значит, функция $t(x)$ принимает на истинной траектории минимальное значение. Таким образом, свет «выбирает» траекторию, прохождение которой требует наименьшего времени (принцип Ферма). Этот принцип распространяется и на отражение света (ср. с задачей 4117). Он является общим принципом геометрической оптики.
