Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4108
2017-09-30 
В цепь последовательно включены резистор с сопротивлением $R$, конденсатор с емкостью $C$ и катушка с индуктивностью $L$. По цепи протекает переменный ток $i = I_{M} \cos \omega t$. Определите амплитуды напряжения на каждом из элементов цепи и во всей цепи. По какому закону изменяется приложенное к цепи напряжение?
Решение:
Амплитуда напряжения на резисторе $U_{R} = I_{}R$; амплитуда напряжения на конденсаторе $U_{MC} = I_{M} X_{C} = \frac{I_{M}}{ \omega C}$; амплитуда напряжения на катушке $U_{ML} = I_{M} X_{L} = I_{M} \omega L$. Здесь $X_{C} = \frac{1}{ \omega C}$ - емкостное сопротивление, $X_{L} = \omega L$ — индуктивное сопротивление. Казалось бы, при последовательном соединении $U_{M} = U_{MR} + U_{MC} + U_{ML}$. Но это не так, Потому что в цепи переменного тока мгновенные значения напряжения на отдельных элементах — это функции времени, а не постоянные величины! По существу речь идет о сложении гармонических колебаний. При этом очень важно, что фазы трех складываемых гармонических колебаний различны: $u_{R}(t)$ совпадает по фазе с силой тока, $u_{C}(t)$ отстает от тока на $\frac{ \pi}{2}, u_{L}(t)$ опережает ток на $\frac{ \pi}{2}$. Запишем закон изменения каждого из напряжений:
$u_{R} = I_{M} R \cos \omega t, u_{C} = I_{M}X_{C} \cos \left ( \omega t - \frac{ \pi}{2} \right ), u_{L} = I_{M} X_{L} \cos \left ( \omega t + \frac{ \pi}{2} \right )$.
Мгновенное значение приложенного к цепи напряжения
$u = u_{R} + u_{C} + u_{L} = U_{MR} \cos \omega t + ( U_{MC} - U_{ML}) \sin \omega t = \sqrt{ U_{MC}^{2} + (U_{ML} - U_{MC})^{2}} \cos ( \omega t + \phi)$, (1)
где $\phi = arctg \frac{U_{ML} - U_{MC}}{U_{MR}}$.
Итак, при сложении мгновенных значений периодически изменяющихся величин (в данном случае — напряжений) их амплитуды не всегда складываются. Выражение (1) можно записать в виде $U = U_{M} \cos ( \cos \omega t + \phi)$, где амплитуда напряжения во всей цепи $U_{M} = I_{M} \sqrt{ R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}} = I_{M}Z$. Выведенное здесь соотношение обычно записывают в виде $I_{M} = U_{M}/Z$ и называют законом Ома для цени переменного тока, а величину $Z$ — полным сопротивлением цепи переменного тока. Величина $\phi$ характеризует сдвиг фаз между колебаниями силы тока и напряжения в цепи. Ее можно записать в виде $\phi = arctg \frac{X_{L} - X_{C}}{R}$. Полезно также иметь в виду, что $\cos \phi = R/Z$.
Ответ: $U_{MR} = I_{M}R, U_{MC} = \frac{I_{M}}{ \omega C}, U_{ML} = I_{M} \omega L; U_{M} = I_{M} \sqrt{ R^{2} + \left ( \omega L - \frac{1}{ \omega C} \right )^{2}}, u = U_{M} \cos ( \omega t + \phi)$, где $\phi = arctg \frac{ \omega L - \frac{1}{ \omega C}}{R}$.
В цепь последовательно включены резистор с сопротивлением $R$, конденсатор с емкостью $C$ и катушка с индуктивностью $L$. По цепи протекает переменный ток $i = I_{M} \cos \omega t$. Определите амплитуды напряжения на каждом из элементов цепи и во всей цепи. По какому закону изменяется приложенное к цепи напряжение?
Решение:
Амплитуда напряжения на резисторе $U_{R} = I_{}R$; амплитуда напряжения на конденсаторе $U_{MC} = I_{M} X_{C} = \frac{I_{M}}{ \omega C}$; амплитуда напряжения на катушке $U_{ML} = I_{M} X_{L} = I_{M} \omega L$. Здесь $X_{C} = \frac{1}{ \omega C}$ - емкостное сопротивление, $X_{L} = \omega L$ — индуктивное сопротивление. Казалось бы, при последовательном соединении $U_{M} = U_{MR} + U_{MC} + U_{ML}$. Но это не так, Потому что в цепи переменного тока мгновенные значения напряжения на отдельных элементах — это функции времени, а не постоянные величины! По существу речь идет о сложении гармонических колебаний. При этом очень важно, что фазы трех складываемых гармонических колебаний различны: $u_{R}(t)$ совпадает по фазе с силой тока, $u_{C}(t)$ отстает от тока на $\frac{ \pi}{2}, u_{L}(t)$ опережает ток на $\frac{ \pi}{2}$. Запишем закон изменения каждого из напряжений:
$u_{R} = I_{M} R \cos \omega t, u_{C} = I_{M}X_{C} \cos \left ( \omega t - \frac{ \pi}{2} \right ), u_{L} = I_{M} X_{L} \cos \left ( \omega t + \frac{ \pi}{2} \right )$.
Мгновенное значение приложенного к цепи напряжения
$u = u_{R} + u_{C} + u_{L} = U_{MR} \cos \omega t + ( U_{MC} - U_{ML}) \sin \omega t = \sqrt{ U_{MC}^{2} + (U_{ML} - U_{MC})^{2}} \cos ( \omega t + \phi)$, (1)
где $\phi = arctg \frac{U_{ML} - U_{MC}}{U_{MR}}$.
Итак, при сложении мгновенных значений периодически изменяющихся величин (в данном случае — напряжений) их амплитуды не всегда складываются. Выражение (1) можно записать в виде $U = U_{M} \cos ( \cos \omega t + \phi)$, где амплитуда напряжения во всей цепи $U_{M} = I_{M} \sqrt{ R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}} = I_{M}Z$. Выведенное здесь соотношение обычно записывают в виде $I_{M} = U_{M}/Z$ и называют законом Ома для цени переменного тока, а величину $Z$ — полным сопротивлением цепи переменного тока. Величина $\phi$ характеризует сдвиг фаз между колебаниями силы тока и напряжения в цепи. Ее можно записать в виде $\phi = arctg \frac{X_{L} - X_{C}}{R}$. Полезно также иметь в виду, что $\cos \phi = R/Z$.
Ответ: $U_{MR} = I_{M}R, U_{MC} = \frac{I_{M}}{ \omega C}, U_{ML} = I_{M} \omega L; U_{M} = I_{M} \sqrt{ R^{2} + \left ( \omega L - \frac{1}{ \omega C} \right )^{2}}, u = U_{M} \cos ( \omega t + \phi)$, где $\phi = arctg \frac{ \omega L - \frac{1}{ \omega C}}{R}$.
