Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4106
2017-09-30 
Конденсатор емкостью $C_{1}$ заряжен до напряжения $U_{1}$ а конденсатор емкостью $C_{2}; не заряжен (см. рисунок). Каким будет максимальное значение $I_{m}$ силы, тока в катушке индуктивностью $L$ после замыкания ключа? Конденсаторы, и катушку считайте идеальными.
Решение:
После замыкания ключа в цепи возникают свободные электромагнитные колебания. При этих колебаниях изменяются заряды $q_{1}$ и $q_{2}$ на конденсаторах и сила тока $i$ через катушку. Воспользуемся законом сохранения электрического заряда и законом сохранения энергии (ведь потери энергии отсутствуют, колебания незатухающие):
$\begin{cases} q_{1} + q_{2} = C_{1}U_{1} \\ \frac{q_{1}^{2}}{2C_{1}} + \frac{q_{2}^{2}}{2C_{2}} + \frac{Li^{2}}{2} = \frac{C_{1}U_{1}^{2}}{2}. \end{cases}$
Отсюда $Li^{2} = C_{1}U_{1}^{2} - \frac{q_{1}^{2}}{C_{1}} - \frac{(C_{1}U_{1} - q_{1})^{2}}{C_{2}}$. Это выражение максимально, когда производная от правой части по $q_{1}$ равна нулю: $- \frac{2q_{1M}}{C_{1}} + \frac{2(C_{1}U_{1} - q_{1M})}{C_{2}} = 0$, т. е. при $q_{1M} = \frac{C_{1}^{2}U_{1}}{C_{1} + C_{2}}$. Величину $q_{1M}$ можно найти и без дифференцирования. Достаточно заметить, что $i = I_{M}$ при прохождении системой «положения равновесия» (при механических колебаниях скорость также максимальна при прохождении положения равновесия), т. е. $q_{1M}$ — «равновесный» заряд первого конденсатора при замкнутом ключе. Он определяется из условия равенства напряжений на обоих конденсаторах и закона сохранения заряда:
$\begin{cases} \frac{q_{1M}}{C_{1}} = \frac{q_{2M}}{C_{2}}, \\ q_{1M} + q_{2M} = C_{1}U_{1}. \end{cases}$
Подставляя полученное значение $q_{1M}$ в формулу для $i$, находим $I_{M} = U_{1} \sqrt{ \frac{C_{1}C_{2}}{L(C_{1} + C_{2})}}$.
Заметим, что при $C_{2} \rightarrow \infty$ получается $I_{M} = U_{1} \sqrt{ \frac{C_{1}}{L}}$. Это соответствует результату для обычного колебательного контура, как и следовало ожидать.
Ответ: $I_{M} = U_{1} \sqrt{ \frac{C_{1}C_{2}}{L(C_{1} + C_{2})}}$.
Конденсатор емкостью $C_{1}$ заряжен до напряжения $U_{1}$ а конденсатор емкостью $C_{2}; не заряжен (см. рисунок). Каким будет максимальное значение $I_{m}$ силы, тока в катушке индуктивностью $L$ после замыкания ключа? Конденсаторы, и катушку считайте идеальными.
Решение:
После замыкания ключа в цепи возникают свободные электромагнитные колебания. При этих колебаниях изменяются заряды $q_{1}$ и $q_{2}$ на конденсаторах и сила тока $i$ через катушку. Воспользуемся законом сохранения электрического заряда и законом сохранения энергии (ведь потери энергии отсутствуют, колебания незатухающие):
$\begin{cases} q_{1} + q_{2} = C_{1}U_{1} \\ \frac{q_{1}^{2}}{2C_{1}} + \frac{q_{2}^{2}}{2C_{2}} + \frac{Li^{2}}{2} = \frac{C_{1}U_{1}^{2}}{2}. \end{cases}$
Отсюда $Li^{2} = C_{1}U_{1}^{2} - \frac{q_{1}^{2}}{C_{1}} - \frac{(C_{1}U_{1} - q_{1})^{2}}{C_{2}}$. Это выражение максимально, когда производная от правой части по $q_{1}$ равна нулю: $- \frac{2q_{1M}}{C_{1}} + \frac{2(C_{1}U_{1} - q_{1M})}{C_{2}} = 0$, т. е. при $q_{1M} = \frac{C_{1}^{2}U_{1}}{C_{1} + C_{2}}$. Величину $q_{1M}$ можно найти и без дифференцирования. Достаточно заметить, что $i = I_{M}$ при прохождении системой «положения равновесия» (при механических колебаниях скорость также максимальна при прохождении положения равновесия), т. е. $q_{1M}$ — «равновесный» заряд первого конденсатора при замкнутом ключе. Он определяется из условия равенства напряжений на обоих конденсаторах и закона сохранения заряда:
$\begin{cases} \frac{q_{1M}}{C_{1}} = \frac{q_{2M}}{C_{2}}, \\ q_{1M} + q_{2M} = C_{1}U_{1}. \end{cases}$
Подставляя полученное значение $q_{1M}$ в формулу для $i$, находим $I_{M} = U_{1} \sqrt{ \frac{C_{1}C_{2}}{L(C_{1} + C_{2})}}$.
Заметим, что при $C_{2} \rightarrow \infty$ получается $I_{M} = U_{1} \sqrt{ \frac{C_{1}}{L}}$. Это соответствует результату для обычного колебательного контура, как и следовало ожидать.
Ответ: $I_{M} = U_{1} \sqrt{ \frac{C_{1}C_{2}}{L(C_{1} + C_{2})}}$.
