Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4102
2017-09-30 
Конденсатор переменной емкости колебательного контура радиоприемника может изменять емкость от $C_{1}$ до $C_{2} > C_{1}$. Какой комплект из $N$ сменных катушек следует использовать, чтобы диапазон длин волн, на которые можно настраивать приемник, был как можно более широким и не содержал «просветов»? Какова верхняя граница $\lambda_{max}$ этого диапазона, если нижняя граница равна
Решение:
Определим сначала, при какой индуктивности $L_{1}$ катушки нижняя граница диапазона длин волн радиоприемника совпадает с $\lambda_{min}$. Поскольку $\lambda_{min} = 2 \pi c \sqrt{ L_{1} C_{1}}$, находим $L_{1} = \frac{ \lambda_{min}^{2}}{4 \pi^{2} c^{2} C_{1}}$. Индуктивности катушек $L_{k} (k = 1, 2, \cdots , N)$ обеспечивают максимальную ширину диапазона и полное перекрытие его частей при условии $2 \pi c \sqrt{ L_{k} C_{2}} = 2 \pi c \sqrt{ L_{k+1} C_{1}}$. Следовательно, $L_{k+1} = L_{k} \frac{C_{2}}{C_{1}}$ (т. е. последовательность $L_{k}$ составляет геометрическую прогрессию: $L_{k} = L_{1} \left ( \frac{C_{2}}{C_{1}} \right )^{k-1}$ ).
Наибольшая индуктивность $L_{N} = L_{1} \left ( \frac{C_{2}}{C_{1}} \right )^{N-1}$, так что
$\lambda_{max} = 2 \pi c \sqrt{L_{N} C_{2}} = 2 \pi c \sqrt{ L_{1}C_{1} \left ( \frac{C_{2}}{C_{1}} \right )^{N}} = \lambda_{min} \left ( \frac{C_{2}}{C_{1}} \right )^{ N/2}$.
Ответ: $L_{k} = \frac{1}{C_{1}} \left ( \frac{ \lambda_{min}}{2 \pi c} \right )^{2} \left ( \frac{C_{2}}{C_{1}} \right )^{k-1}$, где $k = 1, 2, \cdots , N. \lambda_{max} = \lambda_{min} \left ( \frac{C_{2}}{C_{1}} \right )^{ N/2}$.
Конденсатор переменной емкости колебательного контура радиоприемника может изменять емкость от $C_{1}$ до $C_{2} > C_{1}$. Какой комплект из $N$ сменных катушек следует использовать, чтобы диапазон длин волн, на которые можно настраивать приемник, был как можно более широким и не содержал «просветов»? Какова верхняя граница $\lambda_{max}$ этого диапазона, если нижняя граница равна
Решение:
Определим сначала, при какой индуктивности $L_{1}$ катушки нижняя граница диапазона длин волн радиоприемника совпадает с $\lambda_{min}$. Поскольку $\lambda_{min} = 2 \pi c \sqrt{ L_{1} C_{1}}$, находим $L_{1} = \frac{ \lambda_{min}^{2}}{4 \pi^{2} c^{2} C_{1}}$. Индуктивности катушек $L_{k} (k = 1, 2, \cdots , N)$ обеспечивают максимальную ширину диапазона и полное перекрытие его частей при условии $2 \pi c \sqrt{ L_{k} C_{2}} = 2 \pi c \sqrt{ L_{k+1} C_{1}}$. Следовательно, $L_{k+1} = L_{k} \frac{C_{2}}{C_{1}}$ (т. е. последовательность $L_{k}$ составляет геометрическую прогрессию: $L_{k} = L_{1} \left ( \frac{C_{2}}{C_{1}} \right )^{k-1}$ ).
Наибольшая индуктивность $L_{N} = L_{1} \left ( \frac{C_{2}}{C_{1}} \right )^{N-1}$, так что
$\lambda_{max} = 2 \pi c \sqrt{L_{N} C_{2}} = 2 \pi c \sqrt{ L_{1}C_{1} \left ( \frac{C_{2}}{C_{1}} \right )^{N}} = \lambda_{min} \left ( \frac{C_{2}}{C_{1}} \right )^{ N/2}$.
Ответ: $L_{k} = \frac{1}{C_{1}} \left ( \frac{ \lambda_{min}}{2 \pi c} \right )^{2} \left ( \frac{C_{2}}{C_{1}} \right )^{k-1}$, где $k = 1, 2, \cdots , N. \lambda_{max} = \lambda_{min} \left ( \frac{C_{2}}{C_{1}} \right )^{ N/2}$.
