Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4101
2017-09-30 
Магнитное поле имеет вертикальную ось симметрии (ось $z$). Проекция вектора магнитной индукции $\vec{B}$ на эту ось $B_{z} = B_{0} \left ( 1 + \frac{z}{h_{0}} \right )$. С большой высоты падает медное кольцо диаметра $d$, имеющее электрическое сопротивление $R$; плоскость кольца все время горизонтальна, а центр движется вдоль оси $z$. Определите установившуюся скорость падения $v$, если масса кольца равна $m$.
Решение:
Скорость кольца перестает увеличиваться, когда сила Ампера, действующая на индукционный ток в кольце, уравновешивает силу тяжести:
$I \cdot \pi d \cdot B_{гор} = mg$.
Здесь $B_{гор}$ — проекция вектора $\vec{B}$ на горизонтальную плоскость. Величина этой проекции:
$B_{гор} = \frac{d}{4} \cdot \frac{ \Delta B_{z}}{ \Delta z} = \frac{d}{4h_{0}} B_{0}$
(см. задачу 4081). Отсюда находим $I = \frac{4h_{0}mg}{ \pi d^{2} B_{0}}$; ЭДС индукции в кольце равна $\mathcal{E}_{i} = IR$. Согласно закону электромагнитной индукции $\mathcal{E}_{i} = \left | \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t} \right | = \frac{ \pi d^{2}}{4} \left | \frac{ \Delta B_{z}}{ \Delta t} \right | = \frac{ \pi d^{2}}{4} \left | \frac{ \Delta B_{z}}{ \Delta z} \cdot \frac{ \Delta z}{ \Delta t} \right | = \frac{ \pi d^{2} B_{0} v}{4h_{0}}$. Следовательно, $v = \frac{4 h_{0} \mathcal{E}_{i}}{ \pi d^{2} B_{0}} = \left ( \frac{4h_{0}}{ \pi d^{2} B_{0}} \right )^{2} \cdot mgR$. Заметим, что при установившейся скорости падения $I = const$, поэтому ЭДС самоиндукции равна нулю.
Ответ: $v = \left ( \frac{4h_{0}}{ \pi d^{2} B_{0}} \right )^{2} \cdot mgR$.
Магнитное поле имеет вертикальную ось симметрии (ось $z$). Проекция вектора магнитной индукции $\vec{B}$ на эту ось $B_{z} = B_{0} \left ( 1 + \frac{z}{h_{0}} \right )$. С большой высоты падает медное кольцо диаметра $d$, имеющее электрическое сопротивление $R$; плоскость кольца все время горизонтальна, а центр движется вдоль оси $z$. Определите установившуюся скорость падения $v$, если масса кольца равна $m$.
Решение:
Скорость кольца перестает увеличиваться, когда сила Ампера, действующая на индукционный ток в кольце, уравновешивает силу тяжести:
$I \cdot \pi d \cdot B_{гор} = mg$.
Здесь $B_{гор}$ — проекция вектора $\vec{B}$ на горизонтальную плоскость. Величина этой проекции:
$B_{гор} = \frac{d}{4} \cdot \frac{ \Delta B_{z}}{ \Delta z} = \frac{d}{4h_{0}} B_{0}$
(см. задачу 4081). Отсюда находим $I = \frac{4h_{0}mg}{ \pi d^{2} B_{0}}$; ЭДС индукции в кольце равна $\mathcal{E}_{i} = IR$. Согласно закону электромагнитной индукции $\mathcal{E}_{i} = \left | \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t} \right | = \frac{ \pi d^{2}}{4} \left | \frac{ \Delta B_{z}}{ \Delta t} \right | = \frac{ \pi d^{2}}{4} \left | \frac{ \Delta B_{z}}{ \Delta z} \cdot \frac{ \Delta z}{ \Delta t} \right | = \frac{ \pi d^{2} B_{0} v}{4h_{0}}$. Следовательно, $v = \frac{4 h_{0} \mathcal{E}_{i}}{ \pi d^{2} B_{0}} = \left ( \frac{4h_{0}}{ \pi d^{2} B_{0}} \right )^{2} \cdot mgR$. Заметим, что при установившейся скорости падения $I = const$, поэтому ЭДС самоиндукции равна нулю.
Ответ: $v = \left ( \frac{4h_{0}}{ \pi d^{2} B_{0}} \right )^{2} \cdot mgR$.
