Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4092
2017-09-30 
Индукция однородного магнитного поля в цилиндрическом сердечнике радиуса $r$ (см. рисунок) возрастает со временем по закону $B = kt$. Проволочное кольцо радиуса $2r$ имеет общую с сердечником ось. Какова разность по- — тенциалов между точками А и В? Какое напряжение покажет подключенный между точками А и В вольтметр? Сопротивление вольтметра велико по сравнению с сопротивлением кольца.
Решение:
Разность потенциалов между любыми двумя точками кольца равна нулю (см. задачу 4086). Ведь в кольце создается только вихревое электрическое поле, которое и поддерживает индукционный ток, а разность потенциалов может создаваться только ку-лоновским полем. Итак, разность потенциалов между точками А и В равна нулю: $\phi_{A} - \phi_{B} = 0$. Однако можно ли утверждать, что вольтметр, подключенный к этим точкам, покажет нуль? Нельзя: ведь по кольцу идет ток. Часть тока, хотя и ничтожная, может ответвиться и идти через вольтметр (см. рис. а), вызывая отклонение стрелки от нулевого деления. Вспомним, что показание вольтметра определяется силой проходящего по нему тока; а ток ведь может возникать как за счет кулоновского поля, так и за счет вихревого электрического поля (при наличии ЭДС ток может идти и в отсутствие разности потенциалов). Из-за большого сопротивления вольтметра его подключение практически не приводит к изменению силы тока в кольце; значит, и возникающим кулоновским полем, можно пренебречь (в отличие от ситуации, описанной в задаче 4093).
ЭДС индукции $\mathcal{E}$ равномерно распределена вдоль кольца. Значит, на участке АВ, составляющем четверть кольца, $\mathcal{E}_{AB} = \frac{1}{4} \mathcal{E}_{1} = \frac{ \pi r^{2}}{4} \cdot \frac{ \Delta B}{ \Delta t} = \frac{ \pi kr^{2}}{4}$. Рассмотрим теперь заштрихованный на рис. а контур. Магнитный поток через него равен нулю; следовательно, полная ЭДС в этом контуре также равна нулю. Это означает, что $\mathcal{E}_{AVB} + \mathcal{E}_{BCA} = 0$, т. е. $| \mathcal{E}_{AVB}| = | \mathcal{E}_{BCA}| = | \mathcal{E}_{AB}|$. Значит, сила тока через вольтметр $I_{v} = \frac{ \mathcal{E}_{AB}}{R_{V}}$ и вольтметр показывает $U_{V} = I_{v}R_{v} = \mathcal{E}_{AB} = \frac{ \pi kr^{2}}{4}$. Однако полученный ответ нельзя считать исчерпывающим: показание вольтметра зависит не только от того, к каким точкам кольца он подключен, но и от расположения самого прибора и подключенных к нему проводов! В ситуации, соответствующей рис. б, вольтметр показывает $U_{V} = \frac{3}{4} \mathcal{E}_{i} = \frac{3 \pi kr^{2}}{4}$. А ведь возможен еще вариант, когда провод от вольтметра образует виток (или несколько витков) вокруг сердечника (см. рис. в)!
Поэтому окончательный ответ следует записать в виде
$U_{v} = \frac{ \pi k r^{2}}{4}(1 + 2N)$,
где $N$ может быть равно $0, 1, 2 \cdots$
Индукция однородного магнитного поля в цилиндрическом сердечнике радиуса $r$ (см. рисунок) возрастает со временем по закону $B = kt$. Проволочное кольцо радиуса $2r$ имеет общую с сердечником ось. Какова разность по- — тенциалов между точками А и В? Какое напряжение покажет подключенный между точками А и В вольтметр? Сопротивление вольтметра велико по сравнению с сопротивлением кольца.
Решение:
Разность потенциалов между любыми двумя точками кольца равна нулю (см. задачу 4086). Ведь в кольце создается только вихревое электрическое поле, которое и поддерживает индукционный ток, а разность потенциалов может создаваться только ку-лоновским полем. Итак, разность потенциалов между точками А и В равна нулю: $\phi_{A} - \phi_{B} = 0$. Однако можно ли утверждать, что вольтметр, подключенный к этим точкам, покажет нуль? Нельзя: ведь по кольцу идет ток. Часть тока, хотя и ничтожная, может ответвиться и идти через вольтметр (см. рис. а), вызывая отклонение стрелки от нулевого деления. Вспомним, что показание вольтметра определяется силой проходящего по нему тока; а ток ведь может возникать как за счет кулоновского поля, так и за счет вихревого электрического поля (при наличии ЭДС ток может идти и в отсутствие разности потенциалов). Из-за большого сопротивления вольтметра его подключение практически не приводит к изменению силы тока в кольце; значит, и возникающим кулоновским полем, можно пренебречь (в отличие от ситуации, описанной в задаче 4093).
ЭДС индукции $\mathcal{E}$ равномерно распределена вдоль кольца. Значит, на участке АВ, составляющем четверть кольца, $\mathcal{E}_{AB} = \frac{1}{4} \mathcal{E}_{1} = \frac{ \pi r^{2}}{4} \cdot \frac{ \Delta B}{ \Delta t} = \frac{ \pi kr^{2}}{4}$. Рассмотрим теперь заштрихованный на рис. а контур. Магнитный поток через него равен нулю; следовательно, полная ЭДС в этом контуре также равна нулю. Это означает, что $\mathcal{E}_{AVB} + \mathcal{E}_{BCA} = 0$, т. е. $| \mathcal{E}_{AVB}| = | \mathcal{E}_{BCA}| = | \mathcal{E}_{AB}|$. Значит, сила тока через вольтметр $I_{v} = \frac{ \mathcal{E}_{AB}}{R_{V}}$ и вольтметр показывает $U_{V} = I_{v}R_{v} = \mathcal{E}_{AB} = \frac{ \pi kr^{2}}{4}$. Однако полученный ответ нельзя считать исчерпывающим: показание вольтметра зависит не только от того, к каким точкам кольца он подключен, но и от расположения самого прибора и подключенных к нему проводов! В ситуации, соответствующей рис. б, вольтметр показывает $U_{V} = \frac{3}{4} \mathcal{E}_{i} = \frac{3 \pi kr^{2}}{4}$. А ведь возможен еще вариант, когда провод от вольтметра образует виток (или несколько витков) вокруг сердечника (см. рис. в)!
Поэтому окончательный ответ следует записать в виде
$U_{v} = \frac{ \pi k r^{2}}{4}(1 + 2N)$,
где $N$ может быть равно $0, 1, 2 \cdots$
