Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4087
2017-09-30 
Виток провода изогнут в виде восьмерки (см. рисунок), так что $r_{1} = 20 мм$ и $r_{2} = 60 мм$. В течение времени $\Delta t = 0,50 мс$ однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости витка, равномерно возрастает. Начальное значение индукции магнитного поля равно нулю, конечное $B = 50 Тл$. На какое напряжение $U$ должна быть рассчитана изоляция между проводами, чтобы не произошел пробой?
Решение:
Обозначим сопротивления верхнего и нижнего колец «восьмерки» соответственно $R_{1}$ и $R_{2}$, а индуцируемые в них ЭДС $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{2}$. Эти ЭДС действуют в цепи навстречу друг другу. Пробой возможен между точками А и В на перемычке «восьмерки». На рис. а представлена эквивалентная схема цепи. Согласно закону Ома
$I = \frac{ \mathcal{E}_{2} - \mathcal{E}_{1}}{R_{1} + R_{2}}, U_{AB} = \mathcal{E}_{2} - IR_{2} = \frac{ \mathcal{E}_{2}R_{1} + \mathcal{E}_{1} R_{2}}{R_{2} + R_{1}} = \frac{ \mathcal{E}_{2} + \mathcal{E}_{1} \frac{R_{2}}{R_{1}}}{1 + \frac{R_{2}}{R_{1}}}$.
В соответствии с законом электромагнитной индукции $\mathcal{E}_{1} = \pi r_{1}^{2} \frac{B}{ \Delta t}, \mathcal{E}_{2} = \pi r_{2}^{2} \frac{B}{ \Delta t}$. Учитывая, что $\frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{r_{2}}{r_{1}}$, получаем
$U_{AB} = \pi \frac{B}{ \Delta t} \frac{r_{2}^{2} + r_{1} r_{2}}{1 + \frac{r_{2}}{r_{1}}} = \frac{ \pi B r_{1}r_{2}}{ \Delta t} = 380 В$.
Возникает вопрос: в чем же отличие этого изогнутого «восьмеркой» провода от кольца, рассмотренного в задаче 4086? Почему тогда не возникало разности потенциалов между любыми двумя точками кольца, а теперь эта разность потенциалов есть? Для ответа на этот вопрос рассмотрим, как действует вихревое электрическое поле на свободные заряды в проводе. На рис. б показано, в какую сторону это поле «гонит» положительные заряды в верхней и нижней частях «восьмерки» (мы предположили, что возрастающее внешнее поле направлено к нам). В результате действия вихревого поля произойдет разделение зарядов: на ближней к нам части перемычки возникнет положительный заряд, а на дальней — отрицательный. Вследствие разделения зарядов возникнет кулоновское (электростатическое) поле — оно-то и создаст разность потенциалов.
Ответ: $U \geq 380 В$.
Виток провода изогнут в виде восьмерки (см. рисунок), так что $r_{1} = 20 мм$ и $r_{2} = 60 мм$. В течение времени $\Delta t = 0,50 мс$ однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости витка, равномерно возрастает. Начальное значение индукции магнитного поля равно нулю, конечное $B = 50 Тл$. На какое напряжение $U$ должна быть рассчитана изоляция между проводами, чтобы не произошел пробой?
Решение:
Обозначим сопротивления верхнего и нижнего колец «восьмерки» соответственно $R_{1}$ и $R_{2}$, а индуцируемые в них ЭДС $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{2}$. Эти ЭДС действуют в цепи навстречу друг другу. Пробой возможен между точками А и В на перемычке «восьмерки». На рис. а представлена эквивалентная схема цепи. Согласно закону Ома
$I = \frac{ \mathcal{E}_{2} - \mathcal{E}_{1}}{R_{1} + R_{2}}, U_{AB} = \mathcal{E}_{2} - IR_{2} = \frac{ \mathcal{E}_{2}R_{1} + \mathcal{E}_{1} R_{2}}{R_{2} + R_{1}} = \frac{ \mathcal{E}_{2} + \mathcal{E}_{1} \frac{R_{2}}{R_{1}}}{1 + \frac{R_{2}}{R_{1}}}$.
В соответствии с законом электромагнитной индукции $\mathcal{E}_{1} = \pi r_{1}^{2} \frac{B}{ \Delta t}, \mathcal{E}_{2} = \pi r_{2}^{2} \frac{B}{ \Delta t}$. Учитывая, что $\frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{r_{2}}{r_{1}}$, получаем
$U_{AB} = \pi \frac{B}{ \Delta t} \frac{r_{2}^{2} + r_{1} r_{2}}{1 + \frac{r_{2}}{r_{1}}} = \frac{ \pi B r_{1}r_{2}}{ \Delta t} = 380 В$.
Возникает вопрос: в чем же отличие этого изогнутого «восьмеркой» провода от кольца, рассмотренного в задаче 4086? Почему тогда не возникало разности потенциалов между любыми двумя точками кольца, а теперь эта разность потенциалов есть? Для ответа на этот вопрос рассмотрим, как действует вихревое электрическое поле на свободные заряды в проводе. На рис. б показано, в какую сторону это поле «гонит» положительные заряды в верхней и нижней частях «восьмерки» (мы предположили, что возрастающее внешнее поле направлено к нам). В результате действия вихревого поля произойдет разделение зарядов: на ближней к нам части перемычки возникнет положительный заряд, а на дальней — отрицательный. Вследствие разделения зарядов возникнет кулоновское (электростатическое) поле — оно-то и создаст разность потенциалов.
Ответ: $U \geq 380 В$.
