Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4081
2017-09-30 
Магнитное поле (см. рисунок) симметрично относительно оси $z$, причем проекция вектора магнитной индукции $\vec{B}$ на ось $z$ составляет $B_{z} = B_{0} \left ( 1 + \frac{z}{h_{0}} \right )$. Определите угол $\alpha$ между вектором $\vec{B}$ и осью $z$ в точке А, лежащей на расстоянии $R$ от оси $z$ и на расстоянии $h$ от плоскости $xOy$.
Решение:
Воспользуемся тем, что магнитное поле является вихревым, т. е. все линии магнитной индукции замкнуты. Следовательно, магнитный поток $\Phi$ через любую замкнутую поверхность равен нулю (количество входящих в поверхность и выходящих из нее наружу линий магнитной индукции одинаково). Рассмотрим проходящую через точку А замкнутую поверхность, имеющую форму цилиндра высотой $\Delta z$ (см. рисунок). Представим вектор магнитной индукции в точках на боковой поверхности цилиндра в виде суммы вертикальной и горизонтальной составляющих:
$\vec{B} = \vec{B}_{верт} + \vec{B}_{гор}$.
В данном случае $B_{верт} = B_{z}$. Тогда
$\Phi = B_{z}(z + \Delta z) \pi R^{2} - B_{z}(z) \pi R^{2} - 2 \pi R \Delta z B_{гор}$.
Поскольку $\Phi = 0$, получаем $B_{гор} = \frac{R}{2 \Delta z} (B_{z}(z + \Delta z) - B_{z}(z))$. Учитывая, что величина $\frac{ B_{z}(z + \Delta z) - B_{z}(z)}{ \Delta z}$ представляет собой при малых $\Delta z$ производную $B_{z}$ по $z$, находим $B_{гор} = \frac{RB_{0}}{2h_{0}}$. Следовательно, $tg \alpha = \frac{B_{гор}}{B_{z}} = \frac{R}{2(h_{0} + h)}$.
Ответ: $\alpha = arctg \frac{R}{2(h_{0} + h)}$.
Магнитное поле (см. рисунок) симметрично относительно оси $z$, причем проекция вектора магнитной индукции $\vec{B}$ на ось $z$ составляет $B_{z} = B_{0} \left ( 1 + \frac{z}{h_{0}} \right )$. Определите угол $\alpha$ между вектором $\vec{B}$ и осью $z$ в точке А, лежащей на расстоянии $R$ от оси $z$ и на расстоянии $h$ от плоскости $xOy$.
Решение:
Воспользуемся тем, что магнитное поле является вихревым, т. е. все линии магнитной индукции замкнуты. Следовательно, магнитный поток $\Phi$ через любую замкнутую поверхность равен нулю (количество входящих в поверхность и выходящих из нее наружу линий магнитной индукции одинаково). Рассмотрим проходящую через точку А замкнутую поверхность, имеющую форму цилиндра высотой $\Delta z$ (см. рисунок). Представим вектор магнитной индукции в точках на боковой поверхности цилиндра в виде суммы вертикальной и горизонтальной составляющих:
$\vec{B} = \vec{B}_{верт} + \vec{B}_{гор}$.
В данном случае $B_{верт} = B_{z}$. Тогда
$\Phi = B_{z}(z + \Delta z) \pi R^{2} - B_{z}(z) \pi R^{2} - 2 \pi R \Delta z B_{гор}$.
Поскольку $\Phi = 0$, получаем $B_{гор} = \frac{R}{2 \Delta z} (B_{z}(z + \Delta z) - B_{z}(z))$. Учитывая, что величина $\frac{ B_{z}(z + \Delta z) - B_{z}(z)}{ \Delta z}$ представляет собой при малых $\Delta z$ производную $B_{z}$ по $z$, находим $B_{гор} = \frac{RB_{0}}{2h_{0}}$. Следовательно, $tg \alpha = \frac{B_{гор}}{B_{z}} = \frac{R}{2(h_{0} + h)}$.
Ответ: $\alpha = arctg \frac{R}{2(h_{0} + h)}$.
