2014-06-01
Доказать, что в изотермической атмосфере подъемная сила аэростата с эластичной оболочкой не зависит от высоты подъема аэростата при любом законе изменения давления с высотой.
Решение:
Условие изотермичности атмосферы в данной задаче не обязательно. Необходимо только, чтобы температура газа в аэростате (имеется в виду аэростат с герметичной оболочкой)
и воздуха снаружи была все время одинакова, что, естественно, выполняется в случае изотермической атмосферы. Подъемная сила $F$ аэростата объемом $V$ определяется формулой
$F= (\rho_{1} - \rho_{2}) gV$, (1)
где $\rho_{1}$ - плотность атмосферного воздуха на той высоте, на которой находится аэростат, и $rho_{2}$ - плотность наполняющего аэростат газа.
Из уравнения Менделеева - Клапейрона следует, что между плотностью газа и его давлением имеется следующее соотношение:
$p = \frac{\rho}{M}RT$.
Так как оболочка аэростата эластична, можно пренебречь разностью давлений внутри и
вне аэростата и считать, что давление внутри аэростата равно давлению снаружи. Поэтому
$\frac{\rho_{1}}{M_{1}} RT = \frac{\rho_{2}}{M_{2}} RT$,
или
$\frac{\rho_{1}}{M_{1}} = \frac{\rho_{2}}{M_{2}}$. (2)
Но
$\rho_{2}= \frac{m_{2}}{V}$,
где $m_{2}$ - масса наполняющего аэростат газа. Поэтому соотношение (2) можно записать так:
$\rho_{1}V = \frac{M_{1}}{M_{2}} m_{2}$. (3)
Подставив выражение (3) в формулу (1), получим:
$F= m_{2} g \left ( \frac{M_{1}}{M_{2}} -1 \right )$.
Отсюда видно, что подъемная сила аэростата не зависит от высоты.