Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4072
2017-09-30 
Вольфрамовая нить диаметром $d_{1} = 0,10 мм$ и длиной $l = 1,0 м$ натянута в вакууме. К концам нити подводят напряжение и медленно его повышают. При каком напряжении $U_{1}$ нить перегорит? Считайте, что сопротивление вольфрама прямо пропорционально абсолютной температуре $T$. Мощность теплового излучения с единицы площади поверхности нити можно считать равной $\sigma T^{4}$ (здесь $\sigma = 5,67 \cdot 10^{-8} Вт/(м^{2} \cdot К^{4})$ — постоянная Стефана-Больцмана). Каким будет ответ, если диаметр нити $d_{2} = 1,6 мм$?
Решение:
Нить перегорит, когда нагреется до температуры плавления вольфрама $T = 3650 К$. Удельное сопротивление вольфрама при этой температуре $\rho = \rho_{0} \frac{T}{T_{0}}$, сопротивление нити $R = \rho \frac{l}{S_{1}} = \frac{4T \rho_{0} l}{T_{0} \pi d_{1}^{2}}$, выделяющаяся мощность
$P = \frac{U^{2}}{R} = \frac{ \pi U^{2} T_{0} d_{1}^{2}}{4T \rho_{0} l}$. (1)
Практически вся выделяющаяся мощность расходуется на тепловое излучение. Значит,
$P = \sigma T^{4} \pi d_{1} l$, (2)
где $\pi d_{1} l$ — площадь поверхности нити. Приравнивая выражения (1) и (2) для мощности, получаем
$U_{1} = 2lT^{2} \sqrt{ \frac{ \sigma T \rho_{0}}{T_{0} d_{1}}} = 525 В$.
Более толстая нить перегорит при более низком напряжении:
$U_{2} = U_{1} \sqrt{ \frac{d_{1}}{d_{2}}} = 131 В$.
Это объясняется тем, что при увеличении диаметра нити выделяющаяся в ней мощность согласно формуле (1) возрастает пропорционально $d^{2}$ (заметьте, что объем нити пропорционален $d^{2}$), а площадь поверхности, с которой происходит теплоотдача, растет медленнее (пропорционально $d$).
Ответ: $U_{1} = 525 В, U_{2} = 131 В$.
Вольфрамовая нить диаметром $d_{1} = 0,10 мм$ и длиной $l = 1,0 м$ натянута в вакууме. К концам нити подводят напряжение и медленно его повышают. При каком напряжении $U_{1}$ нить перегорит? Считайте, что сопротивление вольфрама прямо пропорционально абсолютной температуре $T$. Мощность теплового излучения с единицы площади поверхности нити можно считать равной $\sigma T^{4}$ (здесь $\sigma = 5,67 \cdot 10^{-8} Вт/(м^{2} \cdot К^{4})$ — постоянная Стефана-Больцмана). Каким будет ответ, если диаметр нити $d_{2} = 1,6 мм$?
Решение:
Нить перегорит, когда нагреется до температуры плавления вольфрама $T = 3650 К$. Удельное сопротивление вольфрама при этой температуре $\rho = \rho_{0} \frac{T}{T_{0}}$, сопротивление нити $R = \rho \frac{l}{S_{1}} = \frac{4T \rho_{0} l}{T_{0} \pi d_{1}^{2}}$, выделяющаяся мощность
$P = \frac{U^{2}}{R} = \frac{ \pi U^{2} T_{0} d_{1}^{2}}{4T \rho_{0} l}$. (1)
Практически вся выделяющаяся мощность расходуется на тепловое излучение. Значит,
$P = \sigma T^{4} \pi d_{1} l$, (2)
где $\pi d_{1} l$ — площадь поверхности нити. Приравнивая выражения (1) и (2) для мощности, получаем
$U_{1} = 2lT^{2} \sqrt{ \frac{ \sigma T \rho_{0}}{T_{0} d_{1}}} = 525 В$.
Более толстая нить перегорит при более низком напряжении:
$U_{2} = U_{1} \sqrt{ \frac{d_{1}}{d_{2}}} = 131 В$.
Это объясняется тем, что при увеличении диаметра нити выделяющаяся в ней мощность согласно формуле (1) возрастает пропорционально $d^{2}$ (заметьте, что объем нити пропорционален $d^{2}$), а площадь поверхности, с которой происходит теплоотдача, растет медленнее (пропорционально $d$).
Ответ: $U_{1} = 525 В, U_{2} = 131 В$.
