Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4071
2017-09-30 
Угольный стержень соединен последовательно с железным такого же сечения. При каком отношении длин стержней сопротивление системы не будет зависеть от температуры?
Решение:
Сопротивление каждого из стержней при температуре $t$ составит
$R = \rho_{0} \frac{l}{S} (1 + \alpha t)$,
где $\rho_{0}$ — удельное сопротивление при $0^{ \circ} С, \alpha$ — температурный коэффициент сопротивления, $l$ — длина стержня. Мы пренебрегаем изменением размеров стержней, т. к. коэффициент линейного расширения твердых тел на один-два порядка меньше температурного коэффициента сопротивления. Полное сопротивление соединенных стержней:
$R = \rho_{01} \frac{l_{1}}{S} (1 + \alpha_{1}t) + \rho_{02} \frac{l_{2}}{S}(1 + \alpha_{2}t) = \rho_{01} \frac{l_{1}}{S} + \rho_{02} \frac{l_{2}}{S} + \frac{t}{S}( \rho_{01} l_{1} \alpha_{1} + \rho_{02} l_{2} \alpha_{2})$,
где индекс 1 соответствует угольному стержню, а индекс 2 — железному. Эта величина не зависит от температуры, если коэффициент при $t$ в последней формуле обращается в нуль, т. е. при $\frac{l_{2}}{l_{1}} = - \frac{ \rho_{01} \alpha_{1}}{ \rho_{02} \alpha_{2}} $. Значения $\rho_{01}$ и $\rho_{02}$ выразим через величины удельных сопротивлений $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ при $t_{1} = 20^{ \circ} С$:
$\rho_{01,02} = \frac{ \rho_{1,2}}{1 + \alpha_{1,2} t_{1}}$.
Следовательно,
$\frac{l_{2}}{l_{1}} = - \frac{ \rho_{1} \alpha_{1} (1 + \alpha_{2} t)}{ \rho_{2} \alpha_{2} ( 1 + \alpha_{1} t_{1})} = 62$.
Итак, железный стержень должен быть длиннее угольного в 62 раза. Разумеется, решение существует лишь благодаря тому, что $\alpha_{2}/ \alpha_{1} < 0$ (т. е. у одного из стержней сопротивление при нагревании растет, а у другого — уменьшается).
Ответ: железный стержень должен быть длиннее угольного в 62 раза.
Угольный стержень соединен последовательно с железным такого же сечения. При каком отношении длин стержней сопротивление системы не будет зависеть от температуры?
Решение:
Сопротивление каждого из стержней при температуре $t$ составит
$R = \rho_{0} \frac{l}{S} (1 + \alpha t)$,
где $\rho_{0}$ — удельное сопротивление при $0^{ \circ} С, \alpha$ — температурный коэффициент сопротивления, $l$ — длина стержня. Мы пренебрегаем изменением размеров стержней, т. к. коэффициент линейного расширения твердых тел на один-два порядка меньше температурного коэффициента сопротивления. Полное сопротивление соединенных стержней:
$R = \rho_{01} \frac{l_{1}}{S} (1 + \alpha_{1}t) + \rho_{02} \frac{l_{2}}{S}(1 + \alpha_{2}t) = \rho_{01} \frac{l_{1}}{S} + \rho_{02} \frac{l_{2}}{S} + \frac{t}{S}( \rho_{01} l_{1} \alpha_{1} + \rho_{02} l_{2} \alpha_{2})$,
где индекс 1 соответствует угольному стержню, а индекс 2 — железному. Эта величина не зависит от температуры, если коэффициент при $t$ в последней формуле обращается в нуль, т. е. при $\frac{l_{2}}{l_{1}} = - \frac{ \rho_{01} \alpha_{1}}{ \rho_{02} \alpha_{2}} $. Значения $\rho_{01}$ и $\rho_{02}$ выразим через величины удельных сопротивлений $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ при $t_{1} = 20^{ \circ} С$:
$\rho_{01,02} = \frac{ \rho_{1,2}}{1 + \alpha_{1,2} t_{1}}$.
Следовательно,
$\frac{l_{2}}{l_{1}} = - \frac{ \rho_{1} \alpha_{1} (1 + \alpha_{2} t)}{ \rho_{2} \alpha_{2} ( 1 + \alpha_{1} t_{1})} = 62$.
Итак, железный стержень должен быть длиннее угольного в 62 раза. Разумеется, решение существует лишь благодаря тому, что $\alpha_{2}/ \alpha_{1} < 0$ (т. е. у одного из стержней сопротивление при нагревании растет, а у другого — уменьшается).
Ответ: железный стержень должен быть длиннее угольного в 62 раза.
