Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4069
2017-08-20 
Оцените время $\tau$ разрядки конденсатора (см. рисунок) после замыкания ключа. Емкость конденсатора $C$, сопротивление цепи $R$. Какой вид имеет график зависимости напряжения $U$ на конденсаторе от времени?
Решение:
По мере уменьшения напряжения на конденсаторе уменьшается и сила тока $i$ в цепи; следовательно, скорость разрядки конденсатора также уменьшается. Вид графика $U(t)$ показан на рисунке. Под временем разрядки понимают время $\tau$, за которое напряжение заметно изменится, например, вдвое. Оценить $\tau$ можно различными способами. Простейший из них — метод размерностей. Из физических соображений ясно, что $\tau$ может зависеть лишь от $R, С$ и, возможно, от начального напряжения $U_{0}$ на конденсаторе. Единицы измерения этих величин соответственно: 1 Ом, 1 Ф = 1 Кл/В = 1 с/Ом и 1 В. Из величин $R, C$ и $U_{0}$ можно построить величину с размерностью времени единственным способом: умножить $R$ на $C$. Следовательно, $\tau \sim RC$ (точное выражение для $\tau$ может содержать еще численный коэффициент порядка единицы). Как видим, величина $\tau$ не зависит от $U_{0}$. Можно получить тот же результат и иначе: напряжение заметно уменьшается, когда выделившееся в цепи количество теплоты становится сравнимым с начальной энергией заряженного конденсатора:
$i^{2} R \tau \sim \frac{CU_{0}^{2}}{2}$.
Считая, что $i \sim \frac{U_{0}}{R}$, получаем
$\tau \sim RC$.
Наметим и точное решение. За малое время $\Delta t$ напряжение на конденсаторе уменьшается на величину $\frac{ \Delta q}{C} = \frac{i \Delta t}{C} = \frac{U \Delta t}{RC}$, откуда следует $U^{ \prime} = - \frac{U}{RC}$. Решение этого дифференциального уравнения (с учетом условия $U = U_{0}$ при $t = 0$) имеет вид $U = U_{0} e^{ - \frac{1}{ \tau}}$, где $\tau = \frac{1}{RC}$. За время $\tau$ напряжение убывает в $e \approx 2,7$ раз, за время $5 \tau$ - в 150 раз!
Ответ: $\tau \sim RC$; см. рисунок.
Оцените время $\tau$ разрядки конденсатора (см. рисунок) после замыкания ключа. Емкость конденсатора $C$, сопротивление цепи $R$. Какой вид имеет график зависимости напряжения $U$ на конденсаторе от времени?
Решение:
По мере уменьшения напряжения на конденсаторе уменьшается и сила тока $i$ в цепи; следовательно, скорость разрядки конденсатора также уменьшается. Вид графика $U(t)$ показан на рисунке. Под временем разрядки понимают время $\tau$, за которое напряжение заметно изменится, например, вдвое. Оценить $\tau$ можно различными способами. Простейший из них — метод размерностей. Из физических соображений ясно, что $\tau$ может зависеть лишь от $R, С$ и, возможно, от начального напряжения $U_{0}$ на конденсаторе. Единицы измерения этих величин соответственно: 1 Ом, 1 Ф = 1 Кл/В = 1 с/Ом и 1 В. Из величин $R, C$ и $U_{0}$ можно построить величину с размерностью времени единственным способом: умножить $R$ на $C$. Следовательно, $\tau \sim RC$ (точное выражение для $\tau$ может содержать еще численный коэффициент порядка единицы). Как видим, величина $\tau$ не зависит от $U_{0}$. Можно получить тот же результат и иначе: напряжение заметно уменьшается, когда выделившееся в цепи количество теплоты становится сравнимым с начальной энергией заряженного конденсатора:
$i^{2} R \tau \sim \frac{CU_{0}^{2}}{2}$.
Считая, что $i \sim \frac{U_{0}}{R}$, получаем
$\tau \sim RC$.
Наметим и точное решение. За малое время $\Delta t$ напряжение на конденсаторе уменьшается на величину $\frac{ \Delta q}{C} = \frac{i \Delta t}{C} = \frac{U \Delta t}{RC}$, откуда следует $U^{ \prime} = - \frac{U}{RC}$. Решение этого дифференциального уравнения (с учетом условия $U = U_{0}$ при $t = 0$) имеет вид $U = U_{0} e^{ - \frac{1}{ \tau}}$, где $\tau = \frac{1}{RC}$. За время $\tau$ напряжение убывает в $e \approx 2,7$ раз, за время $5 \tau$ - в 150 раз!
Ответ: $\tau \sim RC$; см. рисунок.
