Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4063
2017-08-20 
Генератор с ЭДС $\mathcal{E}_{1} = 24 В$ и внутренним сопротивлением $r_{1} = 0,10 Ом$ заряжает батарею аккумуляторов с ЭДС $\mathcal{E}_{2} = 20 В$ и внутренним сопротивлением $r_{2} = 0,30 Ом$. Параллельно батарее включена лампа с сопротивлением $R = 1,5 Ом$. Какие токи $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ протекают через генератор, батарею и лампу?
Решение:
Решение 1. Согласно результатам решения задачи 4062 напряжение между точками Алл В (см. рисунок) составляет $U = \mathcal{E}_{1} - I_{1}r_{1} = \mathcal{E}_{2} + I_{2}r_{2} = I_{3}R $. Из закона сохранения электрического заряда следует: $I_{1} = I_{2} + I_{3}$. Решая систему этих уравнений, получаем:
$I_{1} = \frac{ \mathcal{E}_{1} (R + r_{2}) - \mathcal{E}_{2} R}{r_{1}r_{2} + Rr_{1} + Rr_{2}} = 21 А$;
$I_{2} = \frac{ \mathcal{E}_{1} R - \mathcal{E}_{2} (r_{1} + R)}{r_{1}r_{2} + Rr_{1} + Rr_{2}} = 6,3 А$;
$I_{3} = \frac{ \mathcal{E}_{1} r_{2} + \mathcal{E}_{2} r_{1} }{r_{1}r_{2} + Rr_{1} + Rr_{2}} = 14,6 А$.
Решение 2. Воспользуемся «методом суперпозиции», пригодным для любых систем, где связь между токами и ЭДС линейна, т. е. все элементы цепи подчиняются закону Ома. Предположим сначала, что батарея «потеряла» свою ЭДС, сохранив внутреннее сопротивление. Тогда токи, обусловленные ЭДС $\mathcal{E}_{1}$, определяются соотношениями:
$i_{1} = \frac{ \mathcal{E}_{1} (R + r_{2})}{r_{1}r_{2} + Rr_{1} + Rr_{2}}; i_{2} = \frac{ \mathcal{E}_{1} R }{r_{1}r_{2} + Rr_{1} + Rr_{2}}; i_{3} = \frac{ \mathcal{E}_{1} r_{2} }{r_{1}r_{2} + Rr_{1} + Rr_{2}}$.
Если же «утратил» ЭДС генератор, то распределение токов имеет вид (положительными считаются направления токов, показанные на рисунке):
$i_{1}^{ \prime} = - \frac{ \mathcal{E}_{2} R}{ r_{1}r_{2} + Rr_{1} + Rt_{2}}; i_{2}^{ \prime} = - \frac{ \mathcal{E}_{2} (R + r)}{ r_{1}r_{2} + Rr_{1} + Rt_{2}}; i_{3}^{ \prime} = \frac{ \mathcal{E}_{2} r_{1}}{ r_{1}r_{2} + Rr_{1} + Rt_{2}}$.
При «включении» обеих ЭДС получаем $I_{1} = i_{1} + i_{1}^{ \prime}, I_{2} = i_{2} + i_{2}^{ \prime}, I_{3} = i_{3} + i_{3}^{ \prime}$, что совпадает с результатом решения 1.
Ответ: $I_{1} = 21 А; I_{2} = 6,3 А; I_{3} = 14,6 А$.
Генератор с ЭДС $\mathcal{E}_{1} = 24 В$ и внутренним сопротивлением $r_{1} = 0,10 Ом$ заряжает батарею аккумуляторов с ЭДС $\mathcal{E}_{2} = 20 В$ и внутренним сопротивлением $r_{2} = 0,30 Ом$. Параллельно батарее включена лампа с сопротивлением $R = 1,5 Ом$. Какие токи $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ протекают через генератор, батарею и лампу?
Решение:
Решение 1. Согласно результатам решения задачи 4062 напряжение между точками Алл В (см. рисунок) составляет $U = \mathcal{E}_{1} - I_{1}r_{1} = \mathcal{E}_{2} + I_{2}r_{2} = I_{3}R $. Из закона сохранения электрического заряда следует: $I_{1} = I_{2} + I_{3}$. Решая систему этих уравнений, получаем:
$I_{1} = \frac{ \mathcal{E}_{1} (R + r_{2}) - \mathcal{E}_{2} R}{r_{1}r_{2} + Rr_{1} + Rr_{2}} = 21 А$;
$I_{2} = \frac{ \mathcal{E}_{1} R - \mathcal{E}_{2} (r_{1} + R)}{r_{1}r_{2} + Rr_{1} + Rr_{2}} = 6,3 А$;
$I_{3} = \frac{ \mathcal{E}_{1} r_{2} + \mathcal{E}_{2} r_{1} }{r_{1}r_{2} + Rr_{1} + Rr_{2}} = 14,6 А$.
Решение 2. Воспользуемся «методом суперпозиции», пригодным для любых систем, где связь между токами и ЭДС линейна, т. е. все элементы цепи подчиняются закону Ома. Предположим сначала, что батарея «потеряла» свою ЭДС, сохранив внутреннее сопротивление. Тогда токи, обусловленные ЭДС $\mathcal{E}_{1}$, определяются соотношениями:
$i_{1} = \frac{ \mathcal{E}_{1} (R + r_{2})}{r_{1}r_{2} + Rr_{1} + Rr_{2}}; i_{2} = \frac{ \mathcal{E}_{1} R }{r_{1}r_{2} + Rr_{1} + Rr_{2}}; i_{3} = \frac{ \mathcal{E}_{1} r_{2} }{r_{1}r_{2} + Rr_{1} + Rr_{2}}$.
Если же «утратил» ЭДС генератор, то распределение токов имеет вид (положительными считаются направления токов, показанные на рисунке):
$i_{1}^{ \prime} = - \frac{ \mathcal{E}_{2} R}{ r_{1}r_{2} + Rr_{1} + Rt_{2}}; i_{2}^{ \prime} = - \frac{ \mathcal{E}_{2} (R + r)}{ r_{1}r_{2} + Rr_{1} + Rt_{2}}; i_{3}^{ \prime} = \frac{ \mathcal{E}_{2} r_{1}}{ r_{1}r_{2} + Rr_{1} + Rt_{2}}$.
При «включении» обеих ЭДС получаем $I_{1} = i_{1} + i_{1}^{ \prime}, I_{2} = i_{2} + i_{2}^{ \prime}, I_{3} = i_{3} + i_{3}^{ \prime}$, что совпадает с результатом решения 1.
Ответ: $I_{1} = 21 А; I_{2} = 6,3 А; I_{3} = 14,6 А$.
