Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4060
2017-08-20 
$N$ одинаковых элементов соединены в батарею. Внутреннее сопротивление каждого элемента $r$. При каких значениях $m$ и $n$ (см. рисунок) сила тока через резистор с сопротивлением $R$, подключенный к батарее, будет наибольшей? Решите задачу при $N = 100, r = 1 Ом, R = 2 Ом$.
Решение:
Полная ЭДС батареи $n \mathcal{E}$ (здесь $\mathcal{E}$ — ЭДС каждого из элементов). Внутреннее сопротивление всей батареи $\frac{nr}{m}$. Поэтому сила тока через резистор $I = \frac{n \mathcal{E}}{ \frac{nr}{m} + R}$. Учитывая, что $m = \frac{N}{n}$, получаем
$I = \frac{Nn \mathcal{E}}{n^{2}r + NR} = \frac{N \mathcal{E}}{nr + \frac{N}{n}R}$. (1)
Следует подобрать такое $n$, чтобы сумма $nr + \frac{N}{n} R$ была минимальна. Согласно известному неравенству получаем $nr + \frac{N}{n} R \geq 2 \sqrt{ nr \frac{N}{n} R } = 2 \sqrt{ NrR} = const$. Paвенство достигается только при $nr = \frac{N}{n} R$ (при этом внутреннее сопротивление батареи совпадает с сопротивлением $R$ внешней цепи). Отсюда $n = \sqrt{ N \frac{R}{r}}, m = \sqrt{ N \frac{r}{R}}$. Подставляя числовые значения $N, r$ и $R$, получаем $n_{0} = 14,1, m_{0} = 7,07$. Ближайшие к $n_{0}$ значения $n$, соответствующие целым $m: n_{1} = 10$ (тогда $m_{1} = 10$) и $n_{2} = 20$ (тогда $m_{2} = 5$). Сравниваем соответствующие значения силы тока:
$I_{1} = \frac{10 \mathcal{E}}{3r}; I_{2} = \frac{10 \mathcal{E}}{3r} = I_{1}$.
Итак, задача имеет два решения: $n_{1} = 10, m_{1} = 10$ и $n_{2} = 20, m_{2} = 5$.
Можно предложить и лучшее решение этой задачи: если вообще не использовать два из ста элементов, то при $n = 14$ и $m = 7$ получаем $I = \frac{14 \mathcal{E}}{2r + R} = 3,5 \frac{ \mathcal{E}}{r}$, что. больше полученных выше значений силы тока.
Ответ: $n = \sqrt{ \frac{NR}{r}}, m = \sqrt{ \frac{Nr}{R}}$.
$N$ одинаковых элементов соединены в батарею. Внутреннее сопротивление каждого элемента $r$. При каких значениях $m$ и $n$ (см. рисунок) сила тока через резистор с сопротивлением $R$, подключенный к батарее, будет наибольшей? Решите задачу при $N = 100, r = 1 Ом, R = 2 Ом$.
Решение:
Полная ЭДС батареи $n \mathcal{E}$ (здесь $\mathcal{E}$ — ЭДС каждого из элементов). Внутреннее сопротивление всей батареи $\frac{nr}{m}$. Поэтому сила тока через резистор $I = \frac{n \mathcal{E}}{ \frac{nr}{m} + R}$. Учитывая, что $m = \frac{N}{n}$, получаем
$I = \frac{Nn \mathcal{E}}{n^{2}r + NR} = \frac{N \mathcal{E}}{nr + \frac{N}{n}R}$. (1)
Следует подобрать такое $n$, чтобы сумма $nr + \frac{N}{n} R$ была минимальна. Согласно известному неравенству получаем $nr + \frac{N}{n} R \geq 2 \sqrt{ nr \frac{N}{n} R } = 2 \sqrt{ NrR} = const$. Paвенство достигается только при $nr = \frac{N}{n} R$ (при этом внутреннее сопротивление батареи совпадает с сопротивлением $R$ внешней цепи). Отсюда $n = \sqrt{ N \frac{R}{r}}, m = \sqrt{ N \frac{r}{R}}$. Подставляя числовые значения $N, r$ и $R$, получаем $n_{0} = 14,1, m_{0} = 7,07$. Ближайшие к $n_{0}$ значения $n$, соответствующие целым $m: n_{1} = 10$ (тогда $m_{1} = 10$) и $n_{2} = 20$ (тогда $m_{2} = 5$). Сравниваем соответствующие значения силы тока:
$I_{1} = \frac{10 \mathcal{E}}{3r}; I_{2} = \frac{10 \mathcal{E}}{3r} = I_{1}$.
Итак, задача имеет два решения: $n_{1} = 10, m_{1} = 10$ и $n_{2} = 20, m_{2} = 5$.
Можно предложить и лучшее решение этой задачи: если вообще не использовать два из ста элементов, то при $n = 14$ и $m = 7$ получаем $I = \frac{14 \mathcal{E}}{2r + R} = 3,5 \frac{ \mathcal{E}}{r}$, что. больше полученных выше значений силы тока.
Ответ: $n = \sqrt{ \frac{NR}{r}}, m = \sqrt{ \frac{Nr}{R}}$.
