Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4045
2017-08-20 
Плоский воздушный конденсатор представляет собой две квадратные металлические пластины размерами $a \times a$, расположенные на расстоянии $d$ друг от друга, причем $d \ll a$. Заряженный конденсатор помещают в широкий сосуд с непроводящей жидкостью так, что пластины вертикальны и их нижние края находятся на уровне поверхности жидкости. Жидкость поднимается между пластинами и устанавливается на высоте $h < a$. Почему это происходит? Каким станет напряжение $U$ между пластинами? Поверхностным натяжением можно пренебречь. Плотность жидкости $\rho$, диэлектрическая проницаемость $\epsilon$.
Решение:
Как известно, диэлектрик втягивается в область более сильного электрического поля, а у края конденсатора возникает как раз резко неоднородное поле. Однако непосредственное вычисление силы, действующей на жидкость со стороны неоднородного поля, — непростая задача. Поэтому применим «энергетический подход»: воспользуемся тем, что потенциальная энергия $W_{p}$ системы в положении устойчивого равновесия минимальна. Эта энергия складывается из потенциальной энергии $\frac{mgh}{2}$ столбика втянутой в конденсатор жидкости (высота ее центра тяжести $\frac{h}{2}$) и энергии поля заряженного конденсатора $\frac{q^{2}}{2C}$. Заряд $q$ конденсатора остается при подъеме жидкости неизменным, а емкость конденсатора возрастает от $C_{0} = \frac{ \epsilon_{0} a^{2}}{d}$ до $C = \frac{ \epsilon_{0} a^{2}}{d} \left (1 + ( \epsilon - 1) \frac{h}{a} \right )$ (см. задачу 12.66). Учитывая, что $m = \rho dah$, записываем:
$W_{p} = \frac{ \rho gdah^{2}}{2} + \frac{q^{2}d}{2 \epsilon_{0} a ( 1 + ( \epsilon - 1)h)}$.
Приравнивая нулю производную $W_{p}$ по $h$, получаем
$\rho gdah - \frac{q^{2}d ( \epsilon - 1)}{2 \epsilon_{0} a ( a + ( \epsilon - 1) h)^{2}} = 0$.
Поскольку $q = UC$, находим $U = d \sqrt{ \frac{2 \rho gh}{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1)}}$.
Ответ: $U = d \sqrt{ \frac{2 \rho gh}{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1)}}$.
Плоский воздушный конденсатор представляет собой две квадратные металлические пластины размерами $a \times a$, расположенные на расстоянии $d$ друг от друга, причем $d \ll a$. Заряженный конденсатор помещают в широкий сосуд с непроводящей жидкостью так, что пластины вертикальны и их нижние края находятся на уровне поверхности жидкости. Жидкость поднимается между пластинами и устанавливается на высоте $h < a$. Почему это происходит? Каким станет напряжение $U$ между пластинами? Поверхностным натяжением можно пренебречь. Плотность жидкости $\rho$, диэлектрическая проницаемость $\epsilon$.
Решение:
Как известно, диэлектрик втягивается в область более сильного электрического поля, а у края конденсатора возникает как раз резко неоднородное поле. Однако непосредственное вычисление силы, действующей на жидкость со стороны неоднородного поля, — непростая задача. Поэтому применим «энергетический подход»: воспользуемся тем, что потенциальная энергия $W_{p}$ системы в положении устойчивого равновесия минимальна. Эта энергия складывается из потенциальной энергии $\frac{mgh}{2}$ столбика втянутой в конденсатор жидкости (высота ее центра тяжести $\frac{h}{2}$) и энергии поля заряженного конденсатора $\frac{q^{2}}{2C}$. Заряд $q$ конденсатора остается при подъеме жидкости неизменным, а емкость конденсатора возрастает от $C_{0} = \frac{ \epsilon_{0} a^{2}}{d}$ до $C = \frac{ \epsilon_{0} a^{2}}{d} \left (1 + ( \epsilon - 1) \frac{h}{a} \right )$ (см. задачу 12.66). Учитывая, что $m = \rho dah$, записываем:
$W_{p} = \frac{ \rho gdah^{2}}{2} + \frac{q^{2}d}{2 \epsilon_{0} a ( 1 + ( \epsilon - 1)h)}$.
Приравнивая нулю производную $W_{p}$ по $h$, получаем
$\rho gdah - \frac{q^{2}d ( \epsilon - 1)}{2 \epsilon_{0} a ( a + ( \epsilon - 1) h)^{2}} = 0$.
Поскольку $q = UC$, находим $U = d \sqrt{ \frac{2 \rho gh}{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1)}}$.
Ответ: $U = d \sqrt{ \frac{2 \rho gh}{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1)}}$.
