Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4041
2017-08-20 
Внутри гладкой диэлектрической сферы радиуса $R$ находится маленький шарик массы $m$ с зарядом $+q$. Какой заряд $Q$ нужно поместить в нижней точке сферы, чтобы шарик удерживался в верхней точке? Поляризацией сферы можно пренебречь.
Решение:
Разумеется, кулоновская сила должна, по крайней мере, уравновешивать силу тяжести:
$k \frac{Qq}{4R^{2}} \geq mg$.
Однако этого мало. В верхней точке шарик должен иметь положение устойчивого равновесия, т. е. потенциальная энергия $W_{p}$ при смещении шарика из верхнего положения должна увеличиваться. Эта энергия складывается из энергии $mgh$ притяжения к Земле (высоту $h$ можно, например, отсчитывать от уровня центра сферы) и энергии кулоновского отталкивания $k \frac{Qq}{r}$ (см. рисунок):
$W_{p} = mgh + \frac{Qq}{r}$.
Рассмотрим изменение $W_{p}$ при смещении шарика из верхнего положения (шарик не отрывается от поверхности сферы!). Величину смещения будем характеризовать углом $\alpha$. Тогда (см. рисунок) $h = R \cos \alpha; r = 2R \cos \frac{ \alpha}{2}$. Потенциальную энергию $W_{p}$ удобно записать как функцию величины $x = \cos \frac{ \alpha}{2}$; тогда получим
$W_{p} = mgR(2x^{2} - 1) + \frac{kQq}{2Rx}$.
Нас интересует поведение этой функции вблизи $\alpha = О$, т. е. вблизи $x = 1$. Для того, чтобы равновесие шарика в верхней точке было устойчивым, необходимо, чтобы $W_{p}$ увеличивалась при увеличении $\alpha$, т. е. при уменьшении $x$. Это значит, что производная $W_{p}^{ \prime}$ при $x = 1$ должна быть отрицательной:
$W_{p}^{ \prime} |_{x=1} = \left ( 4x mgR - \frac{kQq}{2Rx^{2}} \right ) |_{x=1} = 4mgR - \frac{kQq}{2R} < 0$.
Отсюда получаем
$Q > \frac{8mgR^{2}}{kq} = \frac{32 \pi \epsilon_{0} mg R^{2}}{q}$.
Мы видим, что условие устойчивости является более сильным, чем просто условие равновесия, т. е. неравенство (1). Тот же результат можно получить иначе. Равновесие шарика будет устойчивым, если при малых углах а модуль проекции кулоновской силы $F_{k}$ на касательную к окружности (см. рисунок) превышает модуль проекции силы тяжести $mg$ на то же направление:
$F_{k} \sin \frac{ \alpha }{2} > mg \sin \alpha$.
Поскольку при малых а можно считать $\sin \frac{ \alpha}{2} = \frac{1}{2} \sin \alpha$, получаем $F_{k} > 2mg$, откуда $Q > \frac{32 \pi \epsilon_{0} mgR^{2}}{q}$.
Ответ: $Q > \frac{32 \pi \epsilon_{0} mgR^{2}}{q}$.
Внутри гладкой диэлектрической сферы радиуса $R$ находится маленький шарик массы $m$ с зарядом $+q$. Какой заряд $Q$ нужно поместить в нижней точке сферы, чтобы шарик удерживался в верхней точке? Поляризацией сферы можно пренебречь.
Решение:
Разумеется, кулоновская сила должна, по крайней мере, уравновешивать силу тяжести:
$k \frac{Qq}{4R^{2}} \geq mg$.
Однако этого мало. В верхней точке шарик должен иметь положение устойчивого равновесия, т. е. потенциальная энергия $W_{p}$ при смещении шарика из верхнего положения должна увеличиваться. Эта энергия складывается из энергии $mgh$ притяжения к Земле (высоту $h$ можно, например, отсчитывать от уровня центра сферы) и энергии кулоновского отталкивания $k \frac{Qq}{r}$ (см. рисунок):
$W_{p} = mgh + \frac{Qq}{r}$.
Рассмотрим изменение $W_{p}$ при смещении шарика из верхнего положения (шарик не отрывается от поверхности сферы!). Величину смещения будем характеризовать углом $\alpha$. Тогда (см. рисунок) $h = R \cos \alpha; r = 2R \cos \frac{ \alpha}{2}$. Потенциальную энергию $W_{p}$ удобно записать как функцию величины $x = \cos \frac{ \alpha}{2}$; тогда получим
$W_{p} = mgR(2x^{2} - 1) + \frac{kQq}{2Rx}$.
Нас интересует поведение этой функции вблизи $\alpha = О$, т. е. вблизи $x = 1$. Для того, чтобы равновесие шарика в верхней точке было устойчивым, необходимо, чтобы $W_{p}$ увеличивалась при увеличении $\alpha$, т. е. при уменьшении $x$. Это значит, что производная $W_{p}^{ \prime}$ при $x = 1$ должна быть отрицательной:
$W_{p}^{ \prime} |_{x=1} = \left ( 4x mgR - \frac{kQq}{2Rx^{2}} \right ) |_{x=1} = 4mgR - \frac{kQq}{2R} < 0$.
Отсюда получаем
$Q > \frac{8mgR^{2}}{kq} = \frac{32 \pi \epsilon_{0} mg R^{2}}{q}$.
Мы видим, что условие устойчивости является более сильным, чем просто условие равновесия, т. е. неравенство (1). Тот же результат можно получить иначе. Равновесие шарика будет устойчивым, если при малых углах а модуль проекции кулоновской силы $F_{k}$ на касательную к окружности (см. рисунок) превышает модуль проекции силы тяжести $mg$ на то же направление:
$F_{k} \sin \frac{ \alpha }{2} > mg \sin \alpha$.
Поскольку при малых а можно считать $\sin \frac{ \alpha}{2} = \frac{1}{2} \sin \alpha$, получаем $F_{k} > 2mg$, откуда $Q > \frac{32 \pi \epsilon_{0} mgR^{2}}{q}$.
Ответ: $Q > \frac{32 \pi \epsilon_{0} mgR^{2}}{q}$.
