Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4040
2017-08-20 
Четыре одинаковых шарика с одинаковыми одноименными зарядами $q$ (см. рисунок) связаны одинаковыми нерастяжимыми нитями. Докажите, что равновесие достигается, когда шарики располагаются в вершинах квадрата. На шарики действуют только кулоновские силы и силы натяжения нитей.
Решение:
Шарики отталкиваются друг от друга, и поэтому все четыре нити натянуты. Следовательно, при равновесии шарики располагаются в вершинах ромба. Если угол между стороной ромба и одной из диагоналей равен $\alpha$, то длины диагоналей ромба $2l \in \alpha$ и $2l \cos \alpha$ (здесь $l$ — длина нити). В положении устойчивого равновесия потенциальная энергия $W_{p}$ кулоновского взаимодействия шариков должна быть минимальной. Поскольку расстояния между соседними шариками фиксированы, достаточно рассмотреть энергию взаимодействия между шариками, лежащими на одной диагонали:
$W_{p} = k \frac{q^{2}}{2l \sin \alpha} + k \frac{q^{2}}{2 l \cos \alpha}$.
Производная $W_{p}$ по углу $\alpha$ равна $\frac{kq^{2}( \sin^{3} \alpha - \cos^{3} \alpha)}{2 l \sin^{2} \alpha \cos^{2} \alpha}$. Отсюда следует, что величина $W_{p}$ убывает при изменении угла $\alpha$ от О до $45^{ \circ}$ и возрастает цри изменении $\alpha$ от $45^{ \circ}$ до $90^{ \circ}$. Минимальное значение $W_{p}$ достигается при $\alpha = 45^{ \circ}$, когда ромб превращается в квадрат.
Четыре одинаковых шарика с одинаковыми одноименными зарядами $q$ (см. рисунок) связаны одинаковыми нерастяжимыми нитями. Докажите, что равновесие достигается, когда шарики располагаются в вершинах квадрата. На шарики действуют только кулоновские силы и силы натяжения нитей.
Решение:
Шарики отталкиваются друг от друга, и поэтому все четыре нити натянуты. Следовательно, при равновесии шарики располагаются в вершинах ромба. Если угол между стороной ромба и одной из диагоналей равен $\alpha$, то длины диагоналей ромба $2l \in \alpha$ и $2l \cos \alpha$ (здесь $l$ — длина нити). В положении устойчивого равновесия потенциальная энергия $W_{p}$ кулоновского взаимодействия шариков должна быть минимальной. Поскольку расстояния между соседними шариками фиксированы, достаточно рассмотреть энергию взаимодействия между шариками, лежащими на одной диагонали:
$W_{p} = k \frac{q^{2}}{2l \sin \alpha} + k \frac{q^{2}}{2 l \cos \alpha}$.
Производная $W_{p}$ по углу $\alpha$ равна $\frac{kq^{2}( \sin^{3} \alpha - \cos^{3} \alpha)}{2 l \sin^{2} \alpha \cos^{2} \alpha}$. Отсюда следует, что величина $W_{p}$ убывает при изменении угла $\alpha$ от О до $45^{ \circ}$ и возрастает цри изменении $\alpha$ от $45^{ \circ}$ до $90^{ \circ}$. Минимальное значение $W_{p}$ достигается при $\alpha = 45^{ \circ}$, когда ромб превращается в квадрат.
