Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4034
2017-08-20 
Две одинаковые металлические квадратные пластины размерами $a \times a$ находятся на расстоянии $d \ll a$ друг от друга. Одна из пластин имеет заряд $+ 3Q$, а другая — заряд $+Q$. Определите напряжение $U$ между пластинами. Как разместятся заряды на каждой из пластин?
Решение:
Удобно начать как раз с выяснения характера распределения зарядов на пластинах (см. рисунок, на котором пластины схематически утолщены). Напряженность поля каждой из четырех заряженных плоскостей задается формулой $E_{i} = \frac{|q_{i}|}{2 \epsilon_{0} a^{2}}$ ($i = 1, 2, 3, 4$). С учетом знака заряда проекция напряженности на ось х составит справа от соответствующей плоскости $E_{ix} = \frac{q_{i}}{2 \epsilon_{0} a^{2}}$, слева - $E_{ix} = - \frac{q_{i}}{2 \epsilon_{0} a^{2}}$. Как известно, напряженность поля внутри каждой из металлических пластин (суперпозиция всех четырех полей) равна нулю. Поэтому (с учетом направления полей)
$\begin{cases} \frac{1}{2 \epsilon_{0} a^{2}} (q_{1} - q_{2} - q_{3} - q_{4}) = 0, \\ \frac{1}{2 \epsilon_{0} a^{2}} (q_{1} + q_{2} + q_{3} - q_{4}) = 0. \end{cases}$
Кроме того, из условия задачи получаем еще два уравнения для величин $q_{i}$:
$\begin{cases} q_{1} + q_{2} = 3Q, \\ q_{3} + q_{4} = Q. \end{cases}$
Решая эту систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными, получаем: $q_{1} = q_{4} = 2Q; q_{2} = - q_{3} = Q$.
Таким образом, заряды на наружных поверхностях пластин одинаковы, а заряды на внутренних поверхностях противоположны (типичная для конденсатора ситуация). Определив напряженность поля между пластинами $E = \frac{1}{2 \epsilon_{0} a^{2}} (q_{1} + q_{2} - q_{3} - q_{4}) = \frac{Q}{ \epsilon_{0} a^{2}}$, получим $U = Ed = \frac{Qd}{ \epsilon_{0} a^{2}}$.
Ответ: $U = \frac{Qd}{ \epsilon_{0} a^{2}}$; на внешних поверхностях пластин одинаковые заряды $+2Q$, на внутренних — заряды $+Q$ и $-Q$.
Две одинаковые металлические квадратные пластины размерами $a \times a$ находятся на расстоянии $d \ll a$ друг от друга. Одна из пластин имеет заряд $+ 3Q$, а другая — заряд $+Q$. Определите напряжение $U$ между пластинами. Как разместятся заряды на каждой из пластин?
Решение:
Удобно начать как раз с выяснения характера распределения зарядов на пластинах (см. рисунок, на котором пластины схематически утолщены). Напряженность поля каждой из четырех заряженных плоскостей задается формулой $E_{i} = \frac{|q_{i}|}{2 \epsilon_{0} a^{2}}$ ($i = 1, 2, 3, 4$). С учетом знака заряда проекция напряженности на ось х составит справа от соответствующей плоскости $E_{ix} = \frac{q_{i}}{2 \epsilon_{0} a^{2}}$, слева - $E_{ix} = - \frac{q_{i}}{2 \epsilon_{0} a^{2}}$. Как известно, напряженность поля внутри каждой из металлических пластин (суперпозиция всех четырех полей) равна нулю. Поэтому (с учетом направления полей)
$\begin{cases} \frac{1}{2 \epsilon_{0} a^{2}} (q_{1} - q_{2} - q_{3} - q_{4}) = 0, \\ \frac{1}{2 \epsilon_{0} a^{2}} (q_{1} + q_{2} + q_{3} - q_{4}) = 0. \end{cases}$
Кроме того, из условия задачи получаем еще два уравнения для величин $q_{i}$:
$\begin{cases} q_{1} + q_{2} = 3Q, \\ q_{3} + q_{4} = Q. \end{cases}$
Решая эту систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными, получаем: $q_{1} = q_{4} = 2Q; q_{2} = - q_{3} = Q$.
Таким образом, заряды на наружных поверхностях пластин одинаковы, а заряды на внутренних поверхностях противоположны (типичная для конденсатора ситуация). Определив напряженность поля между пластинами $E = \frac{1}{2 \epsilon_{0} a^{2}} (q_{1} + q_{2} - q_{3} - q_{4}) = \frac{Q}{ \epsilon_{0} a^{2}}$, получим $U = Ed = \frac{Qd}{ \epsilon_{0} a^{2}}$.
Ответ: $U = \frac{Qd}{ \epsilon_{0} a^{2}}$; на внешних поверхностях пластин одинаковые заряды $+2Q$, на внутренних — заряды $+Q$ и $-Q$.
