Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4031
2017-08-13 
Два конденсатора, имеющие емкости $C_{1} = 10 мкФ$ и $C_{2} = 50 мкФ$, соединены последовательно. Каждый из них способен выдержать напряжение соответственно $U_{1}$ и $U_{2}$. Какое наибольшее напряжение $U_{max}$ может выдержать батарея из этих конденсаторов? Решите задачу при: a) $U_{1} = U_{2} = 120 В$; б) $U_{1} = 120 В, U_{2} = 6 В$.
Решение:
Напрашивающийся простой ответ $U_{max} = U_{1} + U_{2}$ справедлив лишь при условии $C_{1}U_{1} = C_{2}U_{2}$, т. е. когда конденсаторы способны накапливать одинаковые максимальные заряды (ведь при последовательном соединении одинаковы именно заряды на конденсаторах). Когда к батарее приложено напряжение $U$, заряд батареи (а значит, и каждого из конденсаторов) составляет $q = \frac{C_{1}C_{2}U}{C_{1} + C_{2}}$. Напряжения на конденсаторах составят соответственно $U_{1}^{ \prime} = \frac{q}{C_{1}} = \frac{C_{2}}{C_{1} + C_{2}} U$ и $U_{2}^{ \prime} = \frac{C_{1}}{C_{1} + C_{2}} U$. Напряжения $U_{1}^{ \prime}$ и $U_{2}^{ \prime}$ не должны превышать предельно допустимых значений для каждого из конденсаторов, т. е. $U_{1}^{ \prime} \leq U_{1}$ и $U_{2}^{ \prime} \leq U_{2}$. Следовательно, приложенное к батарее напряжение $U$ должно удовлетворять системе неравенств:
$\begin{cases} \frac{C_{2}U}{C_{1} + C_{2}} \leq U_{1}, \\ \frac{C_{1}U}{C_{1} + C_{2}} \leq U_{2}. \end{cases}$
Из первого неравенства получаем $U \leq \frac{C_{1} + C_{2}}{C_{2}} U_{1}$, из второго $U \leq \frac{C_{1} + C_{2}}{C_{1}} U_{2}$. Поскольку оба эти неравенства должны выполняться одновременно, $U$ не должно превышать меньшего из двух выражений: $\frac{C_{1} + C_{2}}{C_{2}} U_{1}$ и $\frac{C_{1} + C_{2}}{C_{1}} U_{2}$ (нетрудно проверить, что при $C_{1}U_{1} = C_{2}U_{2}$ оба эти выражения совпадают с суммой $U_{1} + U_{2}$; такой «очевидный» ответ уже обсуждался выше). Подставляя числовые данные условия, получаем:
а) $U_{max} = \frac{C_{1} + C_{2}}{C_{2}} U_{1} = 144 В$; б) $U_{max} = \frac{C_{1} + C_{2}}{C_{1}} U_{2} = 36 В$.
Ответ: а) $U_{max} = 144 В$, б) $U_{max} = 36 В$.
Два конденсатора, имеющие емкости $C_{1} = 10 мкФ$ и $C_{2} = 50 мкФ$, соединены последовательно. Каждый из них способен выдержать напряжение соответственно $U_{1}$ и $U_{2}$. Какое наибольшее напряжение $U_{max}$ может выдержать батарея из этих конденсаторов? Решите задачу при: a) $U_{1} = U_{2} = 120 В$; б) $U_{1} = 120 В, U_{2} = 6 В$.
Решение:
Напрашивающийся простой ответ $U_{max} = U_{1} + U_{2}$ справедлив лишь при условии $C_{1}U_{1} = C_{2}U_{2}$, т. е. когда конденсаторы способны накапливать одинаковые максимальные заряды (ведь при последовательном соединении одинаковы именно заряды на конденсаторах). Когда к батарее приложено напряжение $U$, заряд батареи (а значит, и каждого из конденсаторов) составляет $q = \frac{C_{1}C_{2}U}{C_{1} + C_{2}}$. Напряжения на конденсаторах составят соответственно $U_{1}^{ \prime} = \frac{q}{C_{1}} = \frac{C_{2}}{C_{1} + C_{2}} U$ и $U_{2}^{ \prime} = \frac{C_{1}}{C_{1} + C_{2}} U$. Напряжения $U_{1}^{ \prime}$ и $U_{2}^{ \prime}$ не должны превышать предельно допустимых значений для каждого из конденсаторов, т. е. $U_{1}^{ \prime} \leq U_{1}$ и $U_{2}^{ \prime} \leq U_{2}$. Следовательно, приложенное к батарее напряжение $U$ должно удовлетворять системе неравенств:
$\begin{cases} \frac{C_{2}U}{C_{1} + C_{2}} \leq U_{1}, \\ \frac{C_{1}U}{C_{1} + C_{2}} \leq U_{2}. \end{cases}$
Из первого неравенства получаем $U \leq \frac{C_{1} + C_{2}}{C_{2}} U_{1}$, из второго $U \leq \frac{C_{1} + C_{2}}{C_{1}} U_{2}$. Поскольку оба эти неравенства должны выполняться одновременно, $U$ не должно превышать меньшего из двух выражений: $\frac{C_{1} + C_{2}}{C_{2}} U_{1}$ и $\frac{C_{1} + C_{2}}{C_{1}} U_{2}$ (нетрудно проверить, что при $C_{1}U_{1} = C_{2}U_{2}$ оба эти выражения совпадают с суммой $U_{1} + U_{2}$; такой «очевидный» ответ уже обсуждался выше). Подставляя числовые данные условия, получаем:
а) $U_{max} = \frac{C_{1} + C_{2}}{C_{2}} U_{1} = 144 В$; б) $U_{max} = \frac{C_{1} + C_{2}}{C_{1}} U_{2} = 36 В$.
Ответ: а) $U_{max} = 144 В$, б) $U_{max} = 36 В$.
