Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4019
2017-08-13 
Четыре шарика, имеющие одинаковые заряды $q$, расположены вдоль одной прямой с интервалом $a$. Какую работу $A$ нужно совершить, чтобы разместить шарики: а) в вершинах квадрата со стороной $a$; б) в вершинах тетраэдра с ребром $a$?
Решение:
Работу $A$ следует вычислять через изменение потенциальной энергии $W_{p}$ системы: $A = \Delta W_{p}$ (напомним: $A$ — работа внешних сил, поэтому здесь нет привычного знака «минус»). Потенциальную энергию системы точечных зарядов можно представить как сумму энергий взаимодействия всех пар зарядов: $W_{p} = \sum_{ \alpha, \beta} k \frac{q_{ \alpha} q_{ \beta}}{r_{ \alpha \beta}}$. Для четырех зарядов таких пар шесть (см. рисунок). При линейном расположении зарядов $r_{1-2} = r_{2-3} = r_{3-4} = a, r_{1-3} = r_{2-4} = 2a, r_{1-4} = 3a$. Поэтому начальная энергия системы $W_{p0} = \frac{13}{3} k \frac{q^{2}}{a}$. При размещении зарядов в вершинах квадрата четыре расстояния в «парах» равны $a$ и два (диагонали квадрата) равны $a \sqrt{2}$. Поэтому $W_{p} = k \frac{q^{2}}{a} (4 + \sqrt{2})$, а
$A = W_{p} - W_{p0} = k \frac{q^{2}}{a} \left ( \sqrt{2} - \frac{1}{3} \right ) = \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} a} \left ( \sqrt{2} - \frac{1}{3} \right )$.
При размещении зарядов в вершинах тетраэдра все расстояния между зарядами равны $a$, следовательно, $W_{p} = 6k \frac{q^{2}}{a}$; поэтому
$A = \frac{5}{3} k \frac{q^{2}}{a} = \frac{5q^{2}}{12 \pi \epsilon_{0} a}$.
Ответ: $\frac{q^{2} (3 \sqrt{2} - 1)}{12 \pi \epsilon_{0} a}; \frac{5q^{2}}{12 \pi \epsilon_{0} a}$
Четыре шарика, имеющие одинаковые заряды $q$, расположены вдоль одной прямой с интервалом $a$. Какую работу $A$ нужно совершить, чтобы разместить шарики: а) в вершинах квадрата со стороной $a$; б) в вершинах тетраэдра с ребром $a$?
Решение:
Работу $A$ следует вычислять через изменение потенциальной энергии $W_{p}$ системы: $A = \Delta W_{p}$ (напомним: $A$ — работа внешних сил, поэтому здесь нет привычного знака «минус»). Потенциальную энергию системы точечных зарядов можно представить как сумму энергий взаимодействия всех пар зарядов: $W_{p} = \sum_{ \alpha, \beta} k \frac{q_{ \alpha} q_{ \beta}}{r_{ \alpha \beta}}$. Для четырех зарядов таких пар шесть (см. рисунок). При линейном расположении зарядов $r_{1-2} = r_{2-3} = r_{3-4} = a, r_{1-3} = r_{2-4} = 2a, r_{1-4} = 3a$. Поэтому начальная энергия системы $W_{p0} = \frac{13}{3} k \frac{q^{2}}{a}$. При размещении зарядов в вершинах квадрата четыре расстояния в «парах» равны $a$ и два (диагонали квадрата) равны $a \sqrt{2}$. Поэтому $W_{p} = k \frac{q^{2}}{a} (4 + \sqrt{2})$, а
$A = W_{p} - W_{p0} = k \frac{q^{2}}{a} \left ( \sqrt{2} - \frac{1}{3} \right ) = \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} a} \left ( \sqrt{2} - \frac{1}{3} \right )$.
При размещении зарядов в вершинах тетраэдра все расстояния между зарядами равны $a$, следовательно, $W_{p} = 6k \frac{q^{2}}{a}$; поэтому
$A = \frac{5}{3} k \frac{q^{2}}{a} = \frac{5q^{2}}{12 \pi \epsilon_{0} a}$.
Ответ: $\frac{q^{2} (3 \sqrt{2} - 1)}{12 \pi \epsilon_{0} a}; \frac{5q^{2}}{12 \pi \epsilon_{0} a}$
