Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3994
2017-08-04 
На четыре ртутных шарика, лежащих на горизонтальной плоскости, осторожно кладут квадратную пластинку (на рисунке показан вид сверху). Радиус шариков $r_{0} = 1 мм$, масса пластинки $m = 80 г$. Смачивания нет. Определите зазор $d$ между плоскостью и пластинкой.
Решение:
Поскольку ртутные шарики расположены симметрично, пластинка давит на каждый из них с силой $\frac{mg}{4}$. В результате каждый из шариков сплющивается в «блин» толщиной $d$ и радиусом $R$ (см. рисунок). Будем предполагать, что $d \ll R$. Объем «блина» $\pi R^{2} d$ должен совпадать с начальным объемом шарика:
$\pi R^{2} d = \frac{4}{3} \pi r_{0}^{3}$. (1)
Давление внутри «блина» (избыточное над атмосферным) $p = \frac{mg}{4 \pi R^{2}}$. С другой стороны, это давление обусловлено кривизной боковой поверхности блина. Поскольку $R \gg d$, давление $p$ будет таким же, как для цилиндрического мениска c радиусом $\frac{d}{2}$, т. е. $p = \frac{2 \sigma}{d}$ (см. задачу 3989). Итак, $\frac{mg}{4 \pi R^{2}} = \frac{2 \sigma}{d}$. Решая это уравнение совместно с уравнением (1), получаем $d = 4 r_{0} \sqrt{ \frac{2 \pi \sigma r_{0}}{3mg}} = 0,15 мм, R = \left ( \frac{mg r_{0}^{3}}{6 \pi \sigma} \right )^{1/4} = 3 мм$.
Предположение $d \ll R$ вполне оправдалось. Нижняя поверхность пластинки находится на высоте 0,15 мм от горизонтальной плоскости.
Ответ: $d = 0,15 мм$.
На четыре ртутных шарика, лежащих на горизонтальной плоскости, осторожно кладут квадратную пластинку (на рисунке показан вид сверху). Радиус шариков $r_{0} = 1 мм$, масса пластинки $m = 80 г$. Смачивания нет. Определите зазор $d$ между плоскостью и пластинкой.
Решение:
Поскольку ртутные шарики расположены симметрично, пластинка давит на каждый из них с силой $\frac{mg}{4}$. В результате каждый из шариков сплющивается в «блин» толщиной $d$ и радиусом $R$ (см. рисунок). Будем предполагать, что $d \ll R$. Объем «блина» $\pi R^{2} d$ должен совпадать с начальным объемом шарика:
$\pi R^{2} d = \frac{4}{3} \pi r_{0}^{3}$. (1)
Давление внутри «блина» (избыточное над атмосферным) $p = \frac{mg}{4 \pi R^{2}}$. С другой стороны, это давление обусловлено кривизной боковой поверхности блина. Поскольку $R \gg d$, давление $p$ будет таким же, как для цилиндрического мениска c радиусом $\frac{d}{2}$, т. е. $p = \frac{2 \sigma}{d}$ (см. задачу 3989). Итак, $\frac{mg}{4 \pi R^{2}} = \frac{2 \sigma}{d}$. Решая это уравнение совместно с уравнением (1), получаем $d = 4 r_{0} \sqrt{ \frac{2 \pi \sigma r_{0}}{3mg}} = 0,15 мм, R = \left ( \frac{mg r_{0}^{3}}{6 \pi \sigma} \right )^{1/4} = 3 мм$.
Предположение $d \ll R$ вполне оправдалось. Нижняя поверхность пластинки находится на высоте 0,15 мм от горизонтальной плоскости.
Ответ: $d = 0,15 мм$.
