Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3967
2017-07-22 
Пробирку длиной $L = 1 м$ заполнили атмосферным воздухом под давлением $P_{0} =10^{5} Па$, закрыли легким подвижным поршнем и погрузили в сосуд с жидкостью на глубину $H = 40 м$. Какая часть длины пробирки $\alpha = x/L$ будет заполнена газом? Температура постоянна, давление насыщенных паров — мало, $\rho_{max} = 1,26 г/см^{3}$ (глицерин), $g = 10м/с^{2}$.
Решение:
Газ в пробирке сжимался изотермически, поэтому его давление удовлетворяет уравнению:
$p_{г} x = p_{0}L$,
или
$p_{г} = \frac{p_{0}}{ \alpha}$.
Это давление уравновешивается давлением столба жидкости над поршнем: $p_{ст} = p_{0} + \rho g(H - x) = p_{0} + \rho gL \left ( \frac{H}{L} - \alpha \right )$. Приравнивая эти давления и решая полученное квадратное уравнение относительно $\alpha$, находим
$\alpha_{1,2} = \left ( \frac{p_{0}}{2 \rho gL} + \frac{H}{2L} \right ) \mp \sqrt{ \left ( \frac{p_{0}}{2 \rho gL} + \frac{H}{2L} \right )^{2} - \frac{p_{0}}{ \rho gL}}$.
Из двух возможных значений $\alpha$ оставляем то, которое удовлетворяет условию: $0 < \alpha < 1$. Итак,
$\alpha = \left ( \frac{p_{0}}{2 \rho gL} + \frac{H}{2L} \right ) - \sqrt{ \left ( \frac{p_{0}}{2 \rho gL} + \frac{H}{2L} \right )^{2} - \frac{p_{0}}{ \rho gL}} \approx 0,17$.
Пробирку длиной $L = 1 м$ заполнили атмосферным воздухом под давлением $P_{0} =10^{5} Па$, закрыли легким подвижным поршнем и погрузили в сосуд с жидкостью на глубину $H = 40 м$. Какая часть длины пробирки $\alpha = x/L$ будет заполнена газом? Температура постоянна, давление насыщенных паров — мало, $\rho_{max} = 1,26 г/см^{3}$ (глицерин), $g = 10м/с^{2}$.
Решение:
Газ в пробирке сжимался изотермически, поэтому его давление удовлетворяет уравнению:
$p_{г} x = p_{0}L$,
или
$p_{г} = \frac{p_{0}}{ \alpha}$.
Это давление уравновешивается давлением столба жидкости над поршнем: $p_{ст} = p_{0} + \rho g(H - x) = p_{0} + \rho gL \left ( \frac{H}{L} - \alpha \right )$. Приравнивая эти давления и решая полученное квадратное уравнение относительно $\alpha$, находим
$\alpha_{1,2} = \left ( \frac{p_{0}}{2 \rho gL} + \frac{H}{2L} \right ) \mp \sqrt{ \left ( \frac{p_{0}}{2 \rho gL} + \frac{H}{2L} \right )^{2} - \frac{p_{0}}{ \rho gL}}$.
Из двух возможных значений $\alpha$ оставляем то, которое удовлетворяет условию: $0 < \alpha < 1$. Итак,
$\alpha = \left ( \frac{p_{0}}{2 \rho gL} + \frac{H}{2L} \right ) - \sqrt{ \left ( \frac{p_{0}}{2 \rho gL} + \frac{H}{2L} \right )^{2} - \frac{p_{0}}{ \rho gL}} \approx 0,17$.
