Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 396
2014-06-01 
На подставке лежит тело массой $m$, подвешенное на пружине жесткостью $k$ (рис.). В начальный момент пружина не растянута. Подставку начинают опускать вниз с ускорением $a$. Через какое время подставка оторвется от тела? Каким будет максимальное растяжение пружины?
Решение:
Запишем уравнение движения тела в проекции на ось x направленную вертикально вниз:
$Ma=Mg – N - T$,
где $M \bar{g}$ - сила тяжести. $\bar{N}$ - сила реакции подставки и $\bar{T} = kx$ - сила упругости пружины (x - удлинение пружины). Учитывая, что в момент отрыва тела от подставки $N=0$, получим:
$Ma=Mg-kx$
Из этого уравнения получаем, что тело отрывается от подставки после того, как подставка и тело пройдут расстояние, равное
$l= x = \frac{M(g-a)}{k}$.
С другой стороны, так как подставка и тело вначале двигались равноускоренно с ускорением $\bar{a}$.
$l=\frac{at^{2}}{2}$,
где $t$ - время с момента начала движения подставки до того момента, когда тело отрывается от нее. Это означает, что
$\frac{at^{2}}{2} = \frac{M(g-a)}{k}$,
откуда
$t = \sqrt{2 \frac{M}{k} \cdot \frac{g-a}{a}}$.
Найдем теперь максимальное растяжение пружины $x_{0}$. Воспользуемся для этого законом сохранения энергии. В момент отрыва от подставки груз имел скорость
$V=at=a \sqrt{2 \frac{M}{k} \cdot \frac{g-a}{a}}$,
кинетическую энергию
$\frac{MV^{2}}{2}=\frac{M^{2}(g-a)a}{k}$
и потенциальную энергию
$Mg (x_{0}-l) = Mg x_{0} - \frac{M^{2}(g-a)g}{k}$
(мы считаем, что потенциальная энергия груза равна нулю, когда пружина максимально растянута). Так как в этот момент пружина растянута на длину
$l=\frac{M(g-a)}{k}$
то ее потенциальная энергия равна
$\frac{kl^{2}}{2}=\frac{M^{2}(g-a)^{2}}{2k}$
Сумма $-W_{1}$ энергий тела и пружины равна
$W_{1}=Mgx_{0} - \frac{M^{2}(g-a)^{2}}{2k}$
В .момент, когда пружина максимально растянута, скорость груза, а значит, и его кинетическая энергия равны пулю. При этом энергия $W_{2}$ груза и пружины равна
$W_{2}=\frac{kx^{2}_{0}}{2}$
По закону сохранения энергии
$W_{1}=W_{2}$
или
$\frac{kx_{0}^{2}}{2} – Mgx_{0} + \frac{M^{2}(g-a)^{2}}{2k}=0$
откуда
$x_{0}=\frac{Mg}{k} \pm \frac{M \sqrt{2(2g-a)}}{k}$.
Но максимальное растяжение $x_{0}$ пружины должно быть больше ее растяжения $x_{1}=\frac{Mg}{k}$ при равновесии тела (когда сила тяжести $Mg$ уравновешена силой упругости пружины $T=kx$), так как при прохождении положения равновесия тело будет иметь некоторую скорость и обязательно проскочит его.
Следовательно, из двух корней уравнения мы должны взять больший:
$x_{0}= \frac{Mg}{k} + \frac{M \sqrt{a (2g-a)}}{k}$
Имеет ли физический смысл второе значение $x_{0}$? Да, но оно дает не максимальное, а минимальное растяжение пружины при колебании тела. Амплитуда колебаний тела равна полуразности значений обоих корней уравнения, т. е.
$x_{m}= \frac{M \sqrt{a(2g-a)}}{k}$
На подставке лежит тело массой $m$, подвешенное на пружине жесткостью $k$ (рис.). В начальный момент пружина не растянута. Подставку начинают опускать вниз с ускорением $a$. Через какое время подставка оторвется от тела? Каким будет максимальное растяжение пружины?
Решение:
Запишем уравнение движения тела в проекции на ось x направленную вертикально вниз:
$Ma=Mg – N - T$,
где $M \bar{g}$ - сила тяжести. $\bar{N}$ - сила реакции подставки и $\bar{T} = kx$ - сила упругости пружины (x - удлинение пружины). Учитывая, что в момент отрыва тела от подставки $N=0$, получим:
$Ma=Mg-kx$
Из этого уравнения получаем, что тело отрывается от подставки после того, как подставка и тело пройдут расстояние, равное
$l= x = \frac{M(g-a)}{k}$.
С другой стороны, так как подставка и тело вначале двигались равноускоренно с ускорением $\bar{a}$.
$l=\frac{at^{2}}{2}$,
где $t$ - время с момента начала движения подставки до того момента, когда тело отрывается от нее. Это означает, что
$\frac{at^{2}}{2} = \frac{M(g-a)}{k}$,
откуда
$t = \sqrt{2 \frac{M}{k} \cdot \frac{g-a}{a}}$.
Найдем теперь максимальное растяжение пружины $x_{0}$. Воспользуемся для этого законом сохранения энергии. В момент отрыва от подставки груз имел скорость
$V=at=a \sqrt{2 \frac{M}{k} \cdot \frac{g-a}{a}}$,
кинетическую энергию
$\frac{MV^{2}}{2}=\frac{M^{2}(g-a)a}{k}$
и потенциальную энергию
$Mg (x_{0}-l) = Mg x_{0} - \frac{M^{2}(g-a)g}{k}$
(мы считаем, что потенциальная энергия груза равна нулю, когда пружина максимально растянута). Так как в этот момент пружина растянута на длину
$l=\frac{M(g-a)}{k}$
то ее потенциальная энергия равна
$\frac{kl^{2}}{2}=\frac{M^{2}(g-a)^{2}}{2k}$
Сумма $-W_{1}$ энергий тела и пружины равна
$W_{1}=Mgx_{0} - \frac{M^{2}(g-a)^{2}}{2k}$
В .момент, когда пружина максимально растянута, скорость груза, а значит, и его кинетическая энергия равны пулю. При этом энергия $W_{2}$ груза и пружины равна
$W_{2}=\frac{kx^{2}_{0}}{2}$
По закону сохранения энергии
$W_{1}=W_{2}$
или
$\frac{kx_{0}^{2}}{2} – Mgx_{0} + \frac{M^{2}(g-a)^{2}}{2k}=0$
откуда
$x_{0}=\frac{Mg}{k} \pm \frac{M \sqrt{2(2g-a)}}{k}$.
Но максимальное растяжение $x_{0}$ пружины должно быть больше ее растяжения $x_{1}=\frac{Mg}{k}$ при равновесии тела (когда сила тяжести $Mg$ уравновешена силой упругости пружины $T=kx$), так как при прохождении положения равновесия тело будет иметь некоторую скорость и обязательно проскочит его.
Следовательно, из двух корней уравнения мы должны взять больший:
$x_{0}= \frac{Mg}{k} + \frac{M \sqrt{a (2g-a)}}{k}$
Имеет ли физический смысл второе значение $x_{0}$? Да, но оно дает не максимальное, а минимальное растяжение пружины при колебании тела. Амплитуда колебаний тела равна полуразности значений обоих корней уравнения, т. е.
$x_{m}= \frac{M \sqrt{a(2g-a)}}{k}$
