Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3951
2017-07-22 
При каком отношении $M/m$ масс призмы $M$ и цилиндров т цилиндры будут раскатываться по горизонтальной поверхности при условии, что между призмой и цилиндрами нет проскальзывания. Коэффициент трения между цилиндрами и поверхностью $\mu = 0,4$; угол между боковой гранью призмы и вертикальной осью симметрии $\alpha = 45^{ \circ}$. При каких значениях коэффициента трения между призмой и цилиндром возможно осуществление вышеописанной ситуации?
Решение:
Вследствие симметрии системы относительно вертикальной плоскости, проходящей через вершину призмы параллельно оси цилиндра, нет смысла рассматривать всю систему в целом. Достаточно ограничиться одним цилиндром и той половиной призмы, с которой он взаимодействует (см. рисунок).
На рисунке $\vec{f}_{тр}$ и $\vec{N}_{1}$ — силы трения и нормального давления, действующие на цилиндр со стороны клина, соответственно. Аналогичные силы, действующие со стороны цилиндра на клин, обозначены, как $\vec{f}_{тр}^{ \prime}$ и $\vec{N}_{1}^{ \prime}$. По третьему закону Ньютона:
$\vec{f}_{тр} = - \vec{f}_{тр}^{ \prime}, \vec{N}_{1} = - \vec{N}_{1}^{ \prime}$.
$F_{тр}$ и $\vec{N}_{2}$ — силы, действующие со стороны поверхности на цилиндр.
Систему координат выберем так, как показано на рисунке.
Условие раскатывания цилиндров означает, что момент сил. вращающих цилиндр против часовой стрелки, относительно оси цилиндра должен быть больше или равен моменту сил. вращающих его по часовой стрелке, т е.
$f_{тр} \geq F_{тр}$.
При выводе этого условия принято во внимание, что плечи каждой из сил $\vec{f}$ и $\vec{F}_{тр}$ одинаковы к равны радиусу цилиндра. Моменты других, действующих на цилиндр сил. равны нулю, так как их направление проходит через ось цилиндра.
Условие отсутствия проскальзывания между призмой и цилиндрами означает, что
для цилиндра: $\vec{N}_{1} + m \vec{g} + \vec{N}_{2} + \vec{F}_{тр} + \vec{f}_{тр} = 0$,
для клина: $\frac{M \vec{g}}{2} + \vec{N}_{1}^{ \prime} + \vec{f}_{тр}^{ \prime} = 0$.
Проектируя эти уравнения на выбранные оси и принимая во внимание, что
$| \vec{f}_{тр}| = | \vec{f}_{тр}^{ \prime}| = f$
и
$| \vec{N}_{1} | = | \vec{N}_{1}^{ \prime}| = N_{1}$,
получим систему уравнении:
$\begin{cases} N_{1} \cos \alpha - f \sin \alpha - F_{тр} = 0; \\ -N_{1} \sin \alpha - mg + N_{2} - f \cos \alpha = 0; \\ - \frac{Mg}{2} + N_{1} \sin \alpha + f \cos \alpha = 0. \end{cases}$
Сложив второе и третье уравнение системы, найдем
$N_{2} = \left ( m + \frac{M}{2} \right ) g$.
При раскатывании призмы и цилиндров $F_{тр} = \mu N_{2}$. Используя эту связь, исключим из первого и второго уравнений системы $N_{2}$:
$N_{1} ( \cos \alpha - \mu \sin \alpha) - f ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha ) - \mu mg = 0$.
Домножив это уравнение на $\sin \alpha$, а третье уравнение системы на $( \cos \alpha - \mu \sin \alpha)$ и вычитая из одного из этих уравнений другое, получим
$f = \frac{Mg}{2} ( \cos \alpha - \mu \sin \alpha) - \mu mg \sin \alpha$.
Воспользуемся условием раскатывания:
$g \left [ \frac{M}{2} ( \cos \alpha - \mu \sin \alpha) - \mu m \sin \alpha \right ] \geq \mu g \left ( m + \frac{M}{2} \right )$.
Отсюда
$\frac{M}{m} \geq \frac{2 \mu (1 + \sin \alpha)}{ \cos \alpha - \mu (1 + \sin \alpha)}$.
Подстановка численных значении дает $\frac{M}{m} \geq 55$. Данная ситуация может осуществиться лишь в том случае, если призма в месте ее соприкосновения с цилиндром не проскальзывает по цилиндру, т.е. если силой, вращающей цилиндр вокруг его оси, является сила трения покоя. Это условие можно записать, как
$f_{тр} \leq \mu N_{1}$,
где $\mu_{0}$ — коэффициент трения скольжения между призмой и цилиндром. С другой стороны, как отмечалось,
$f_{тр} \geq \mu N_{2}$
следовательно, эта ситуация осуществляется, если $\mu_{0} \geq \mu \frac{N_{2}}{N_{1}}$.
Отношение $N_{2}/N_{1}$ можно определить из первого уравнения вышеприведенной системы, если положить в нем $f_{тр} = F_{тp} = \mu N_{2}$. Тогда $\frac{N_{2}}{N_{1}} = \frac{ \cos \alpha}{ \mu ( 1 + \sin \alpha)}$ и $\mu_{0} \geq \frac{ \cos \alpha}{1 + \sin \alpha}$. Для $\alpha = 45^{ \circ} \mu_{0} > 0,41$.
При каком отношении $M/m$ масс призмы $M$ и цилиндров т цилиндры будут раскатываться по горизонтальной поверхности при условии, что между призмой и цилиндрами нет проскальзывания. Коэффициент трения между цилиндрами и поверхностью $\mu = 0,4$; угол между боковой гранью призмы и вертикальной осью симметрии $\alpha = 45^{ \circ}$. При каких значениях коэффициента трения между призмой и цилиндром возможно осуществление вышеописанной ситуации?
Решение:
Вследствие симметрии системы относительно вертикальной плоскости, проходящей через вершину призмы параллельно оси цилиндра, нет смысла рассматривать всю систему в целом. Достаточно ограничиться одним цилиндром и той половиной призмы, с которой он взаимодействует (см. рисунок).
На рисунке $\vec{f}_{тр}$ и $\vec{N}_{1}$ — силы трения и нормального давления, действующие на цилиндр со стороны клина, соответственно. Аналогичные силы, действующие со стороны цилиндра на клин, обозначены, как $\vec{f}_{тр}^{ \prime}$ и $\vec{N}_{1}^{ \prime}$. По третьему закону Ньютона:
$\vec{f}_{тр} = - \vec{f}_{тр}^{ \prime}, \vec{N}_{1} = - \vec{N}_{1}^{ \prime}$.
$F_{тр}$ и $\vec{N}_{2}$ — силы, действующие со стороны поверхности на цилиндр.
Систему координат выберем так, как показано на рисунке.
Условие раскатывания цилиндров означает, что момент сил. вращающих цилиндр против часовой стрелки, относительно оси цилиндра должен быть больше или равен моменту сил. вращающих его по часовой стрелке, т е.
$f_{тр} \geq F_{тр}$.
При выводе этого условия принято во внимание, что плечи каждой из сил $\vec{f}$ и $\vec{F}_{тр}$ одинаковы к равны радиусу цилиндра. Моменты других, действующих на цилиндр сил. равны нулю, так как их направление проходит через ось цилиндра.
Условие отсутствия проскальзывания между призмой и цилиндрами означает, что
для цилиндра: $\vec{N}_{1} + m \vec{g} + \vec{N}_{2} + \vec{F}_{тр} + \vec{f}_{тр} = 0$,
для клина: $\frac{M \vec{g}}{2} + \vec{N}_{1}^{ \prime} + \vec{f}_{тр}^{ \prime} = 0$.
Проектируя эти уравнения на выбранные оси и принимая во внимание, что
$| \vec{f}_{тр}| = | \vec{f}_{тр}^{ \prime}| = f$
и
$| \vec{N}_{1} | = | \vec{N}_{1}^{ \prime}| = N_{1}$,
получим систему уравнении:
$\begin{cases} N_{1} \cos \alpha - f \sin \alpha - F_{тр} = 0; \\ -N_{1} \sin \alpha - mg + N_{2} - f \cos \alpha = 0; \\ - \frac{Mg}{2} + N_{1} \sin \alpha + f \cos \alpha = 0. \end{cases}$
Сложив второе и третье уравнение системы, найдем
$N_{2} = \left ( m + \frac{M}{2} \right ) g$.
При раскатывании призмы и цилиндров $F_{тр} = \mu N_{2}$. Используя эту связь, исключим из первого и второго уравнений системы $N_{2}$:
$N_{1} ( \cos \alpha - \mu \sin \alpha) - f ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha ) - \mu mg = 0$.
Домножив это уравнение на $\sin \alpha$, а третье уравнение системы на $( \cos \alpha - \mu \sin \alpha)$ и вычитая из одного из этих уравнений другое, получим
$f = \frac{Mg}{2} ( \cos \alpha - \mu \sin \alpha) - \mu mg \sin \alpha$.
Воспользуемся условием раскатывания:
$g \left [ \frac{M}{2} ( \cos \alpha - \mu \sin \alpha) - \mu m \sin \alpha \right ] \geq \mu g \left ( m + \frac{M}{2} \right )$.
Отсюда
$\frac{M}{m} \geq \frac{2 \mu (1 + \sin \alpha)}{ \cos \alpha - \mu (1 + \sin \alpha)}$.
Подстановка численных значении дает $\frac{M}{m} \geq 55$. Данная ситуация может осуществиться лишь в том случае, если призма в месте ее соприкосновения с цилиндром не проскальзывает по цилиндру, т.е. если силой, вращающей цилиндр вокруг его оси, является сила трения покоя. Это условие можно записать, как
$f_{тр} \leq \mu N_{1}$,
где $\mu_{0}$ — коэффициент трения скольжения между призмой и цилиндром. С другой стороны, как отмечалось,
$f_{тр} \geq \mu N_{2}$
следовательно, эта ситуация осуществляется, если $\mu_{0} \geq \mu \frac{N_{2}}{N_{1}}$.
Отношение $N_{2}/N_{1}$ можно определить из первого уравнения вышеприведенной системы, если положить в нем $f_{тр} = F_{тp} = \mu N_{2}$. Тогда $\frac{N_{2}}{N_{1}} = \frac{ \cos \alpha}{ \mu ( 1 + \sin \alpha)}$ и $\mu_{0} \geq \frac{ \cos \alpha}{1 + \sin \alpha}$. Для $\alpha = 45^{ \circ} \mu_{0} > 0,41$.
