Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3950
2017-07-22 
Центр тяжести пустого цилиндрического стакана выше дна стакана. В стакан наливают воду. Докажите, что положение центра тяжести стакана с водой будет самым низким в том случае, когда он совпадает с уровнем воды в стакане.
Решение:
При наполнении стакана водой уровень воды и соответственно ее центр тяжести повышаются относительно дна стакана, вследствие чего центр тяжести стакана с водой понижается относительно центра тяжести пустого стакана $x_{c}$ (имеется в виду стакан, у которого толщина стенок и дна сравнимы). При некотором количестве воды в стакане ее уровень совпадет с положением центра тяжести стакана с водой. Докажем, что это $x_{в}$ положение центра тяжести стакана с водой наинизшее. Примем его за начало отсчета оси ОХ, которую направим вдоль оси симметрии стакана (см. рисунок).
Тогда в соответствии с определением положение центра тяжести стакана с водой $x_{ц.т.}$ должно удовлетворять условию:
$x_{c}m_{c} - \rho V x_{в} = 0$,
т.е. $x_{ц.т.} = 0$, где $m_{c}$ — масса стакана, $\rho$ — плотность воды, $V$ — ее объем. Найдем теперь, как изменится положение центра тяжести стакана с водой, если уровень воды в стакане изменится по сравнению с рассмотренным уровнем на величину $\Delta x$ в ту или иную ситуацию. В этом случае новое положение центра тяжести
$x_{ц.т.}^{ \prime} = \frac{x_{c}m_{c} - \rho (V \pm \Delta x S) \left ( x_{в} \mp \frac{ \Delta x}{2} \right )}{m_{с} + m_{в}} = \frac{ (x_{c} m_{с} - \rho Vx_{в}) \pm \rho \Delta x \left ( \frac{V}{2} - Sx_{в} \right ) + \rho \frac{ \Delta x^{2} S}{2}}{m_{с} + m_{в}}$,
$S$ — площадь дна стакана.
При записи этого выражения учтено, что изменение уровня воды на $\Delta x$ меняет положение центра тяжести воды на $\frac{ \Delta x }{2}$, а также тот факт, что увеличение (уменьшение) объема воды приближает (удаляет) центр тяжести воды к началу координат. В последнем выражении для $x_{цт}^{ \prime}$ слагаемые, содержащиеся в круглых скобках, равны нулю: первое — так как оно является результатом условленного ранее выбора начала координат, а второе — в силу того, что $\frac{V}{2} = Sx_{в}$.
Как видим, $x_{ц.т}^{ \prime} > 0$, что и доказывает сделанное выше утверждение.
Центр тяжести пустого цилиндрического стакана выше дна стакана. В стакан наливают воду. Докажите, что положение центра тяжести стакана с водой будет самым низким в том случае, когда он совпадает с уровнем воды в стакане.
Решение:
При наполнении стакана водой уровень воды и соответственно ее центр тяжести повышаются относительно дна стакана, вследствие чего центр тяжести стакана с водой понижается относительно центра тяжести пустого стакана $x_{c}$ (имеется в виду стакан, у которого толщина стенок и дна сравнимы). При некотором количестве воды в стакане ее уровень совпадет с положением центра тяжести стакана с водой. Докажем, что это $x_{в}$ положение центра тяжести стакана с водой наинизшее. Примем его за начало отсчета оси ОХ, которую направим вдоль оси симметрии стакана (см. рисунок).
Тогда в соответствии с определением положение центра тяжести стакана с водой $x_{ц.т.}$ должно удовлетворять условию:
$x_{c}m_{c} - \rho V x_{в} = 0$,
т.е. $x_{ц.т.} = 0$, где $m_{c}$ — масса стакана, $\rho$ — плотность воды, $V$ — ее объем. Найдем теперь, как изменится положение центра тяжести стакана с водой, если уровень воды в стакане изменится по сравнению с рассмотренным уровнем на величину $\Delta x$ в ту или иную ситуацию. В этом случае новое положение центра тяжести
$x_{ц.т.}^{ \prime} = \frac{x_{c}m_{c} - \rho (V \pm \Delta x S) \left ( x_{в} \mp \frac{ \Delta x}{2} \right )}{m_{с} + m_{в}} = \frac{ (x_{c} m_{с} - \rho Vx_{в}) \pm \rho \Delta x \left ( \frac{V}{2} - Sx_{в} \right ) + \rho \frac{ \Delta x^{2} S}{2}}{m_{с} + m_{в}}$,
$S$ — площадь дна стакана.
При записи этого выражения учтено, что изменение уровня воды на $\Delta x$ меняет положение центра тяжести воды на $\frac{ \Delta x }{2}$, а также тот факт, что увеличение (уменьшение) объема воды приближает (удаляет) центр тяжести воды к началу координат. В последнем выражении для $x_{цт}^{ \prime}$ слагаемые, содержащиеся в круглых скобках, равны нулю: первое — так как оно является результатом условленного ранее выбора начала координат, а второе — в силу того, что $\frac{V}{2} = Sx_{в}$.
Как видим, $x_{ц.т}^{ \prime} > 0$, что и доказывает сделанное выше утверждение.
