Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3931
2017-07-22 
Гиря массой $m$ падает на чашку пружинных весов с высоты $H$ и испытывает абсолютно упругий удар. На какую величину $h$ сожмется пружина весов после удара, если масса чашки равна $M$, а коэффициент жесткости пружины равен $k$?
Решение:
Скорость $v$, приобретаемую гирей при падении ее с высоты $H$, можно найти из закона сохранения механической энергии (гиря и Земля — замкнутая система):
$mgH = \frac{mv^{2}}{2}$.
При абсолютно упругом ударе импульс и механическая энергия системы не меняются, тогда как сами импульсы и энергии гири и чаши весов меняются за счет локальных внутренних упругих сил. Внешние силы (силы тяжести) при локальном взаимодействии не меняют импульсы и энергии гири и чашки, поэтому в момент удара гирю и чашку можно считать замкнутой системой.
Законы сохранения импульса и механической энергии при абсолютно упругом ударе гири о чашку весов имеют соответственно вид
$\begin{cases} mv = MV + mu; \\ \frac{mv^{2}}{2} = \frac{MV^{2}}{2} + \frac{mu^{2}}{2}, \end{cases}$
где $u$ — проекция скорости гири, а $V$ — скорости чашки весов сразу после удара на ось, направленную вертикально вниз.
Решая систему уравнений, получаем
$V = \frac{2v}{1 + \frac{M}{m}} = \frac{2 \sqrt{2gH}}{1 + \frac{M}{m}}$.
Величину сжатия пружины весов $h$ найдем из закона сохранения полной механической энергии системы «чашка весов — Земля» (эта система замкнута):
$mgh + \frac{MV^{2}}{2} = \frac{kh^{2}}{2}$.
В этом уравнении $mgh$ — изменение потенциальной энергии чашки весов при опускании ее на высоту $h, \frac{MV^{2}}{2}$ - начальная кинетическая энергия чашки весов, $\frac{kh^{2}}{2}$ - потенциальная энергия, запасаемая пружиной весов при ее сжатии. Решая получившееся квадратное уравнение относительно $h$, находим
$h = \frac{mg}{k} \left ( 1 + \sqrt{1 + \frac{8kHM}{g(m+M)^{2}}} \right )$.
Гиря массой $m$ падает на чашку пружинных весов с высоты $H$ и испытывает абсолютно упругий удар. На какую величину $h$ сожмется пружина весов после удара, если масса чашки равна $M$, а коэффициент жесткости пружины равен $k$?
Решение:
Скорость $v$, приобретаемую гирей при падении ее с высоты $H$, можно найти из закона сохранения механической энергии (гиря и Земля — замкнутая система):
$mgH = \frac{mv^{2}}{2}$.
При абсолютно упругом ударе импульс и механическая энергия системы не меняются, тогда как сами импульсы и энергии гири и чаши весов меняются за счет локальных внутренних упругих сил. Внешние силы (силы тяжести) при локальном взаимодействии не меняют импульсы и энергии гири и чашки, поэтому в момент удара гирю и чашку можно считать замкнутой системой.
Законы сохранения импульса и механической энергии при абсолютно упругом ударе гири о чашку весов имеют соответственно вид
$\begin{cases} mv = MV + mu; \\ \frac{mv^{2}}{2} = \frac{MV^{2}}{2} + \frac{mu^{2}}{2}, \end{cases}$
где $u$ — проекция скорости гири, а $V$ — скорости чашки весов сразу после удара на ось, направленную вертикально вниз.
Решая систему уравнений, получаем
$V = \frac{2v}{1 + \frac{M}{m}} = \frac{2 \sqrt{2gH}}{1 + \frac{M}{m}}$.
Величину сжатия пружины весов $h$ найдем из закона сохранения полной механической энергии системы «чашка весов — Земля» (эта система замкнута):
$mgh + \frac{MV^{2}}{2} = \frac{kh^{2}}{2}$.
В этом уравнении $mgh$ — изменение потенциальной энергии чашки весов при опускании ее на высоту $h, \frac{MV^{2}}{2}$ - начальная кинетическая энергия чашки весов, $\frac{kh^{2}}{2}$ - потенциальная энергия, запасаемая пружиной весов при ее сжатии. Решая получившееся квадратное уравнение относительно $h$, находим
$h = \frac{mg}{k} \left ( 1 + \sqrt{1 + \frac{8kHM}{g(m+M)^{2}}} \right )$.
