Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3922
2017-07-22 
Тело уронили с некоторой высоты в воду без начальной скорости, при этом была измерена глубина его погружения за 1 с после его вхождения в воду. Установлено, что если начальную высоту уменьшить в $k = 4,5$ раза, то глубина погружения уменьшится в $l = 1,9$ раз. Утонет ли тело в воде? Сопротивлением (трением) воздуха и воды пренебречь.
Решение:
При падении тела с высоты $H$ скорость его перед вхождением в воду будет равна $v_{0} = \sqrt{2gH}$. Если плотность тела $\rho$ больше плотности воды $\rho_{0}$, то глубину его погружения $H_{1}$ за время $t$ можно посчитать по формуле:
$H_{1} = v_{0} t + \frac{gt^{2}}{2} \left ( 1 - \frac{ \rho_{0}}{ \rho} \right )$.
Если же $\rho < \rho_{0}$, то глубина погружения $H_{2}$ за время $t$
$H_{2} = v_{0}t - \frac{gt^{2}}{2} \left ( \frac{ \rho_{0}}{ \rho} - 1 \right )$
(см. решение задачи 3921). Вторая формула относится только к случаю $t < \tau = \frac{v_{0}}{ g \left ( \frac{ \rho_{0}}{ \rho} - 1 \right )}$, где $\tau$ — время погружения, соответствующее остановке тела в воде.
При уменьшении начальной высоты в $k$ раз скорость тела перед входом в воду будет равна $v_{0k} = \sqrt{ \frac{2gH}{k}}$, а глубина погружения за время $\Delta t = 1 с$ — в случае $\rho > \rho_{0}$:
$H_{1k} = \sqrt{ \frac{2gH}{k}} + \frac{g}{2} \left ( 1 - \frac{ \rho_{0}}{ \rho} \right )$,
в случае $\rho < \rho_{0}$:
$H_{2k} = \sqrt{ \frac{2gH}{k}} - \frac{g}{2} \left ( \frac{ \rho_{0}}{ \rho} - 1 \right )$.
Так как по условию задачи $l = \frac{H_{1}}{H_{1k}} = \frac{H_{2}}{H_{2k}}$, то для случая $\rho > \rho_{0}$ получаем
$l = \frac{ \sqrt{2gH} + g/2 \left ( 1 - \frac{ \rho_{0}}{ \rho} \right )}{ \sqrt{ \frac{2gH}{k}} + g/2 \left ( 1 - \frac{ \rho_{0}}{ \rho} \right )}$.
а для случая $\rho < \rho_{0}$
$l = \frac{ \sqrt{2gH} - g/2 \left ( \frac{ \rho_{0}}{ \rho} - 1 \right )}{ \sqrt{ \frac{2gH}{k}} - g/2 \left ( \frac{ \rho_{0}}{ \rho} - 1 \right )}$.
Оба выражения для $l$ дают
$\frac{ \rho_{0}}{ \rho } = 1 - 2 \sqrt{ \frac{2H}{g}} \frac{ \left ( 1 - \frac{l}{ \sqrt{k}} \right )}{(l-1)}$.
При $l = 1,9$ и $k = 4,5$
$\delta = 2 \sqrt{ \frac{2H}{g}} \frac{ \left ( 1 - \frac{l}{ \sqrt{k}} \right )}{(k - 1)} > 0$.
Следовательно, $\rho_{0} < \rho$, т.е. исходные данные соответствуют случаю, когда тело при падении в воду утонет.
Тело уронили с некоторой высоты в воду без начальной скорости, при этом была измерена глубина его погружения за 1 с после его вхождения в воду. Установлено, что если начальную высоту уменьшить в $k = 4,5$ раза, то глубина погружения уменьшится в $l = 1,9$ раз. Утонет ли тело в воде? Сопротивлением (трением) воздуха и воды пренебречь.
Решение:
При падении тела с высоты $H$ скорость его перед вхождением в воду будет равна $v_{0} = \sqrt{2gH}$. Если плотность тела $\rho$ больше плотности воды $\rho_{0}$, то глубину его погружения $H_{1}$ за время $t$ можно посчитать по формуле:
$H_{1} = v_{0} t + \frac{gt^{2}}{2} \left ( 1 - \frac{ \rho_{0}}{ \rho} \right )$.
Если же $\rho < \rho_{0}$, то глубина погружения $H_{2}$ за время $t$
$H_{2} = v_{0}t - \frac{gt^{2}}{2} \left ( \frac{ \rho_{0}}{ \rho} - 1 \right )$
(см. решение задачи 3921). Вторая формула относится только к случаю $t < \tau = \frac{v_{0}}{ g \left ( \frac{ \rho_{0}}{ \rho} - 1 \right )}$, где $\tau$ — время погружения, соответствующее остановке тела в воде.
При уменьшении начальной высоты в $k$ раз скорость тела перед входом в воду будет равна $v_{0k} = \sqrt{ \frac{2gH}{k}}$, а глубина погружения за время $\Delta t = 1 с$ — в случае $\rho > \rho_{0}$:
$H_{1k} = \sqrt{ \frac{2gH}{k}} + \frac{g}{2} \left ( 1 - \frac{ \rho_{0}}{ \rho} \right )$,
в случае $\rho < \rho_{0}$:
$H_{2k} = \sqrt{ \frac{2gH}{k}} - \frac{g}{2} \left ( \frac{ \rho_{0}}{ \rho} - 1 \right )$.
Так как по условию задачи $l = \frac{H_{1}}{H_{1k}} = \frac{H_{2}}{H_{2k}}$, то для случая $\rho > \rho_{0}$ получаем
$l = \frac{ \sqrt{2gH} + g/2 \left ( 1 - \frac{ \rho_{0}}{ \rho} \right )}{ \sqrt{ \frac{2gH}{k}} + g/2 \left ( 1 - \frac{ \rho_{0}}{ \rho} \right )}$.
а для случая $\rho < \rho_{0}$
$l = \frac{ \sqrt{2gH} - g/2 \left ( \frac{ \rho_{0}}{ \rho} - 1 \right )}{ \sqrt{ \frac{2gH}{k}} - g/2 \left ( \frac{ \rho_{0}}{ \rho} - 1 \right )}$.
Оба выражения для $l$ дают
$\frac{ \rho_{0}}{ \rho } = 1 - 2 \sqrt{ \frac{2H}{g}} \frac{ \left ( 1 - \frac{l}{ \sqrt{k}} \right )}{(l-1)}$.
При $l = 1,9$ и $k = 4,5$
$\delta = 2 \sqrt{ \frac{2H}{g}} \frac{ \left ( 1 - \frac{l}{ \sqrt{k}} \right )}{(k - 1)} > 0$.
Следовательно, $\rho_{0} < \rho$, т.е. исходные данные соответствуют случаю, когда тело при падении в воду утонет.
