Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3919
2017-07-22 
В некоторый момент времени тело начинает скользить вверх по наклонной плоскости со скоростью $v_{0}$. Угол наклона плоскости к линии горизонта — $\alpha$, коэффициент трения — $\mu$. Какой путь пройдет тело за время $t_{0}$ от начала движения. Плоскость — протяженная.
Решение:
Так как плоскость — протяженная, то это означает, что тело не покидает наклонную плоскость. Опишем кратко особенности движения тела. При движении вверх оно вначале будет замедляться и спустя некоторое время $t_{з}$ остановится. Дальнейшее поведение тела зависит от угла наклона плоскости к горизонту $\alpha$. Если $\alpha$ достаточно мал, то тело останется в покое. Если $\alpha$ равен или больше некоторого $\alpha_{max}$, то тело будет соскальзывать с наклонной плоскости равноускоренно.
В зависимости от того, какие случаи реализуются, рассмотрим различные варианты движения.
I вариант: $t \leq t_{з}$. Тело движется замедленно (ускорение направлено против скорости). Величину ускорения найдем, решив соответствующую задачу динамики для тела, движущегося вверх по наклонной плоскости
$a_{1} = g( \sin \alpha + \mu \cos \alpha)$.
Время подъема до высшей точки определим из условия равенства нулю скорости тела в этой точке:
$t_{з} = \frac{v_{0}}{g ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha)}$.
Из уравнения движения находим, что при $t < t_{з}$ тело пройдет путь
$S = v_{0}t - \frac{g}{2} ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha) t^{2}$.
II вариант: $t > t_{з}$. Тело соскальзывает с наклонной плоскости. Ускорение тела
$a_{2} = g( \sin \alpha - \mu \cos \alpha )$.
Положив здесь $\mu = tg \beta$, представим $a_{2}$ в виде $a_{2} = g \frac{ \sin ( \alpha - \beta)}{ \sqrt{1 + \mu^{2}}}$.
Таким образом, соскальзывание будет возможным, если $\sin ( \alpha - \beta) > 0$, т.е. при $\alpha > a_{min} = arctg \mu$.
При $\alpha \leq \alpha_{min}$ тело будет покоится.
В этом случае путь, пройденный телом $S_{з}$, можно найти, подставив $t = t_{з}$ в формулу для пути при $t \leq t_{з}$. Тогда
$S_{з} = \frac{v_{0}^{2}}{2g ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha)}$,
Если $\alpha > \alpha_{min}$, то путь, пройденный телом, будет равен
$S = S_{з} + a_{2} \frac{(t - t_{з})^{2}}{2} = \frac{v_{0}^{2}}{2g ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha)} + \frac{g}{2} ( \sin \alpha - \mu \cos \alpha) (t - t_{з})^{2}$.
В некоторый момент времени тело начинает скользить вверх по наклонной плоскости со скоростью $v_{0}$. Угол наклона плоскости к линии горизонта — $\alpha$, коэффициент трения — $\mu$. Какой путь пройдет тело за время $t_{0}$ от начала движения. Плоскость — протяженная.
Решение:
Так как плоскость — протяженная, то это означает, что тело не покидает наклонную плоскость. Опишем кратко особенности движения тела. При движении вверх оно вначале будет замедляться и спустя некоторое время $t_{з}$ остановится. Дальнейшее поведение тела зависит от угла наклона плоскости к горизонту $\alpha$. Если $\alpha$ достаточно мал, то тело останется в покое. Если $\alpha$ равен или больше некоторого $\alpha_{max}$, то тело будет соскальзывать с наклонной плоскости равноускоренно.
В зависимости от того, какие случаи реализуются, рассмотрим различные варианты движения.
I вариант: $t \leq t_{з}$. Тело движется замедленно (ускорение направлено против скорости). Величину ускорения найдем, решив соответствующую задачу динамики для тела, движущегося вверх по наклонной плоскости
$a_{1} = g( \sin \alpha + \mu \cos \alpha)$.
Время подъема до высшей точки определим из условия равенства нулю скорости тела в этой точке:
$t_{з} = \frac{v_{0}}{g ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha)}$.
Из уравнения движения находим, что при $t < t_{з}$ тело пройдет путь
$S = v_{0}t - \frac{g}{2} ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha) t^{2}$.
II вариант: $t > t_{з}$. Тело соскальзывает с наклонной плоскости. Ускорение тела
$a_{2} = g( \sin \alpha - \mu \cos \alpha )$.
Положив здесь $\mu = tg \beta$, представим $a_{2}$ в виде $a_{2} = g \frac{ \sin ( \alpha - \beta)}{ \sqrt{1 + \mu^{2}}}$.
Таким образом, соскальзывание будет возможным, если $\sin ( \alpha - \beta) > 0$, т.е. при $\alpha > a_{min} = arctg \mu$.
При $\alpha \leq \alpha_{min}$ тело будет покоится.
В этом случае путь, пройденный телом $S_{з}$, можно найти, подставив $t = t_{з}$ в формулу для пути при $t \leq t_{з}$. Тогда
$S_{з} = \frac{v_{0}^{2}}{2g ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha)}$,
Если $\alpha > \alpha_{min}$, то путь, пройденный телом, будет равен
$S = S_{з} + a_{2} \frac{(t - t_{з})^{2}}{2} = \frac{v_{0}^{2}}{2g ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha)} + \frac{g}{2} ( \sin \alpha - \mu \cos \alpha) (t - t_{з})^{2}$.
