Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3918
2017-07-22 
Шарик радиуса $R$, двигающийся поступательно со скоростью $v$ и одновременно вращающийся вокруг горизонтальной оси (см. рисунок), перпендикулярной плоскости рисунка, с угловой скоростью $\omega$, такой, что $\omega R \gg v$, испытывает соударение с плоской поверхностью. Деформации шарика при ударе — упругие. Угол падения — $\alpha$. Коэффициент трения — $\mu$. После удара шарик продолжает вращаться в прежнем направлении с мало изменившейся угловой скоростью. Определить угол отражения $\beta$. Время соударения мало.
Рассмотреть два случая вращения шарика: а) против часовой стрелки; б) по часовой стрелке.
Решение:
Случай а): шарик вращается против часовой стрелки.
В промежуток времени $\tau$, в течение которого шарик соприкасается с поверхностью, на него со стороны поверхности действуют две силы: $N$ — сила реакции поверхности, направленная по нормали к ней; $F_{тр}$ — сила трения, направленная вдоль поверхности в сторону, противоположную оси ОХ, и обусловленная проскальзыванием шарика при его вращении против часовой стрелки в силу условия $\omega R \gg v$. В соответствии со вторым законом Ньютона действие каждой из этих сил изменяет соответствующие компоненты импульса шарика:
$\Delta p_{y} = p_{y}^{к} - p_{y}^{н} = N \tau$,
$\Delta p_{x} = p_{x}^{к} - p_{x}^{н} = F_{тр} \tau = \mu N \tau$.
Оси координат ОХ и ОY выбраны так, как показано на рисунке. Здесь $p_{y}^{к}$ и $p_{y}^{н}$ — конечная (после удара) и начальная (до удара) составляющие импульса шарика по оси Y; $p_{x}^{к}$ и $p_{x}^{н}$ — соответствующие составляющие импульса по оси ОХ. Знак минус в правой части второго уравнения учитывает тот факт, что сила трения обусловлена проскальзыванием шарика при его вращении и направлена в сторону, противоположную направлению $p_{x}$.
Так как при ударе о поверхность деформации шарика упругие, то после столкновения составляющая импульса шарика по оси OY $p_{y}^{к} = p_{y}^{н} = mv \cos \alpha$, т.е. не изменяет своей величины, но изменяет направление на противоположное. Поэтому полное изменение величины составляющей импульса шарика по оси OY при ударе равно
$\Delta p_{y} = 2 mv \cos \alpha = N \tau$.
Составляющие импульса шарика по оси ОХ до и после соударения
$p_{x}^{к} = p_{y}^{к} tg \beta$,
$p_{x}^{н} = mv \sin \alpha$.
Часть импульса $p_{x}^{к}$ определяется составляющей импульса по оси OY: $p_{y}^{к} =mv \cos \alpha$ и углом отражения $\beta$. Окончательно для $\Delta p_{x}$ находим
$\Delta p_{x} = mv \cos \alpha \cdot tg \beta - mv \sin \alpha = - \mu N \tau$.
Поделив правые и левые части равенств, для $\Delta p_{x}$ и $\Delta p_{y}$ найдем
$tg \beta - tg \alpha = - 2 \mu$.
Для случая б):
$tg \beta = tg \alpha + 2 \mu$.
В этом случае сила трения $F_{тр} = \mu N$ обусловлена проскальзыванием шарика при его вращении по часовой стрелке и направлена по оси X.
Шарик радиуса $R$, двигающийся поступательно со скоростью $v$ и одновременно вращающийся вокруг горизонтальной оси (см. рисунок), перпендикулярной плоскости рисунка, с угловой скоростью $\omega$, такой, что $\omega R \gg v$, испытывает соударение с плоской поверхностью. Деформации шарика при ударе — упругие. Угол падения — $\alpha$. Коэффициент трения — $\mu$. После удара шарик продолжает вращаться в прежнем направлении с мало изменившейся угловой скоростью. Определить угол отражения $\beta$. Время соударения мало.
Рассмотреть два случая вращения шарика: а) против часовой стрелки; б) по часовой стрелке.
Решение:
Случай а): шарик вращается против часовой стрелки.
В промежуток времени $\tau$, в течение которого шарик соприкасается с поверхностью, на него со стороны поверхности действуют две силы: $N$ — сила реакции поверхности, направленная по нормали к ней; $F_{тр}$ — сила трения, направленная вдоль поверхности в сторону, противоположную оси ОХ, и обусловленная проскальзыванием шарика при его вращении против часовой стрелки в силу условия $\omega R \gg v$. В соответствии со вторым законом Ньютона действие каждой из этих сил изменяет соответствующие компоненты импульса шарика:
$\Delta p_{y} = p_{y}^{к} - p_{y}^{н} = N \tau$,
$\Delta p_{x} = p_{x}^{к} - p_{x}^{н} = F_{тр} \tau = \mu N \tau$.
Оси координат ОХ и ОY выбраны так, как показано на рисунке. Здесь $p_{y}^{к}$ и $p_{y}^{н}$ — конечная (после удара) и начальная (до удара) составляющие импульса шарика по оси Y; $p_{x}^{к}$ и $p_{x}^{н}$ — соответствующие составляющие импульса по оси ОХ. Знак минус в правой части второго уравнения учитывает тот факт, что сила трения обусловлена проскальзыванием шарика при его вращении и направлена в сторону, противоположную направлению $p_{x}$.
Так как при ударе о поверхность деформации шарика упругие, то после столкновения составляющая импульса шарика по оси OY $p_{y}^{к} = p_{y}^{н} = mv \cos \alpha$, т.е. не изменяет своей величины, но изменяет направление на противоположное. Поэтому полное изменение величины составляющей импульса шарика по оси OY при ударе равно
$\Delta p_{y} = 2 mv \cos \alpha = N \tau$.
Составляющие импульса шарика по оси ОХ до и после соударения
$p_{x}^{к} = p_{y}^{к} tg \beta$,
$p_{x}^{н} = mv \sin \alpha$.
Часть импульса $p_{x}^{к}$ определяется составляющей импульса по оси OY: $p_{y}^{к} =mv \cos \alpha$ и углом отражения $\beta$. Окончательно для $\Delta p_{x}$ находим
$\Delta p_{x} = mv \cos \alpha \cdot tg \beta - mv \sin \alpha = - \mu N \tau$.
Поделив правые и левые части равенств, для $\Delta p_{x}$ и $\Delta p_{y}$ найдем
$tg \beta - tg \alpha = - 2 \mu$.
Для случая б):
$tg \beta = tg \alpha + 2 \mu$.
В этом случае сила трения $F_{тр} = \mu N$ обусловлена проскальзыванием шарика при его вращении по часовой стрелке и направлена по оси X.
