Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3917
2017-07-22 
Определить ускорения, с которыми движутся шар и клин. Массы клина $m$ и шара $M$, угол между гранями клина $\alpha$ заданы. Движение тел ограничено вертикальной и горизонтальной поверхностями. Трение отсутствует. Рассмотреть два случая относительного расположения шара и клина, показанных на рисунках а и б.
Решение:
Случай а).
Силы, действующие на клин и шар, показаны на рисунке. Основное уравнение динамики для шара и клина соответственно есть:
$M \vec{a}_{M} = M \vec{g} + \vec{N}_{2} + \vec{N}_{1}$.
$m \vec{a}_{m} = m \vec{g} + \vec{N}_{1}^{ \prime}$
По третьему закону Ньютона: $\vec{N}_{1}^{ \prime} = - \vec{N}_{1}$ ($| \vec{N}_{1}^{ \prime} | = | \vec{N}_{1} | = N$). Так как движение тел ограничено вертикальными и горизонтальными поверхностями, то спроектируем уравнение движения для шара на горизонтальную направление, а уравнение движения для клина на вертикальное направление:
$\begin{cases} Ma_{M} = N \cos \alpha; \\ ma_{m} = mg - N \sin \alpha. \end{cases}$
Опускание клина на высоту $h$ приводит к перемещению шара в горизонтальном направлении на расстояние $l$, причем $h = l ctg \alpha$. Так как $h = \frac{a_{m}t^{2}}{2}$, а $l = \frac{a_{M}t^{2}}{2}$, то $a_{m} = a_{M} ctg \alpha$. Используя эту связь между ускорениями, решаем полученную систему уравнений:
$a_{M} = g \frac{tg \alpha}{1 + \frac{M}{m} tg^{2} \alpha}$,
$a_{m} = g \frac{1}{ 1 + \frac{M}{m} tg^{2} \alpha}$.
Случай б).
$a_{M} = \frac{g tg \alpha}{ tg^{2} \alpha + \frac{M}{m}}$.
$a_{m} = g \frac{tg^{2} \alpha}{ tg^{2} \alpha + \frac{M}{m}}$.
Определить ускорения, с которыми движутся шар и клин. Массы клина $m$ и шара $M$, угол между гранями клина $\alpha$ заданы. Движение тел ограничено вертикальной и горизонтальной поверхностями. Трение отсутствует. Рассмотреть два случая относительного расположения шара и клина, показанных на рисунках а и б.
Решение:
Случай а).
Силы, действующие на клин и шар, показаны на рисунке. Основное уравнение динамики для шара и клина соответственно есть:
$M \vec{a}_{M} = M \vec{g} + \vec{N}_{2} + \vec{N}_{1}$.
$m \vec{a}_{m} = m \vec{g} + \vec{N}_{1}^{ \prime}$
По третьему закону Ньютона: $\vec{N}_{1}^{ \prime} = - \vec{N}_{1}$ ($| \vec{N}_{1}^{ \prime} | = | \vec{N}_{1} | = N$). Так как движение тел ограничено вертикальными и горизонтальными поверхностями, то спроектируем уравнение движения для шара на горизонтальную направление, а уравнение движения для клина на вертикальное направление:
$\begin{cases} Ma_{M} = N \cos \alpha; \\ ma_{m} = mg - N \sin \alpha. \end{cases}$
Опускание клина на высоту $h$ приводит к перемещению шара в горизонтальном направлении на расстояние $l$, причем $h = l ctg \alpha$. Так как $h = \frac{a_{m}t^{2}}{2}$, а $l = \frac{a_{M}t^{2}}{2}$, то $a_{m} = a_{M} ctg \alpha$. Используя эту связь между ускорениями, решаем полученную систему уравнений:
$a_{M} = g \frac{tg \alpha}{1 + \frac{M}{m} tg^{2} \alpha}$,
$a_{m} = g \frac{1}{ 1 + \frac{M}{m} tg^{2} \alpha}$.
Случай б).
$a_{M} = \frac{g tg \alpha}{ tg^{2} \alpha + \frac{M}{m}}$.
$a_{m} = g \frac{tg^{2} \alpha}{ tg^{2} \alpha + \frac{M}{m}}$.
